CHAPITRE XVI 
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Alors, puisque b — a <4 r—1, ——est une fraction positive ou 
négative. 
Donc t est un entier compris entre + 3 et — 3 et par suite égale à 
Hz 1 ou + 2. 
3 (b -a) =(r — 1) /, r=1 +3 h -—- = 1 -f ?,p. 
La base du système surpasse de 1 un multiple de 3. 
Maintenant 
b — a = p.t et c -f a — 2b —t. 
Donc 
c — a + (2p + 1) t 
c et o sont positifs, et tous les deux <d 3/> -f- 1. 
t + +; 2 donc t = H- i. 
Si t = -f- 1, a peut prendre toutes les valeurs comprises entre 1 et p — 1 
inclusivement. 
Si i= — l,o peut prendre toutes les valeurs comprises entre 2/> -h 2 
et 3p inclusivement. 
Il y a 2 [p — 1) solutions. 
Considérons une suite quelconque des trois chiffres pour f=+l. 
b — x, a = x + pt, c = x — {p -f- 1 ) t. 
La raison de la progression a pour expression 
(3p + l) 2 a + (3p + 1) b + c — (3jo + l) 2 b — (3jb + 1) o — a = 
= (3p + l) 2 (o — b) + (3jo + 1) {b — c) + c — a — 
— (3/? 4- 1 Y-pt + (3/? -f 1) {p + 1) t — {2p + 1) t — 
= ± 3p (3p 2 4- 3p + 1) = constante. 
1014. — a étant la base du système, le nombre le plus général ayant 
la forme indiqué sera : 
N = 1 + o 2 4 o 4 4- ... 4- o 4 
qAU + 2 | 
O 2 — 1 
On a donc 
N 
(pn+i — | a in+i 4- 1 
— X 
a— 1 
o+l 
(1 + a + o 2 + ... + o 2w ) (1 — a + 
+ a 2 
c.q.f.d. 
Si b est le dernier chiffre significatif, en sorte que b—a—1, les 
décompositions des nombres considérés sont 
HI X bl, 11 111 X bOb\, nil 111 X bObOb\, 
etc.