Vereinfachung bei Vernachlässigung von Reibung und Wärmeleitung. 121
also, da diese Gleichung für jedes Element dS gelten muss:
X n {u — u') + Y n {y — v') -f- Z n {w — w')
dT ,dT'
X ö -k—
dn dn
und nach S. 119:
dT
. dT'
- dn " dn = “ 1 (( M — u 7 + 0 — * *0 2 + O — “O 2 )-
Dieser Ausdruck, negativ genommen, ist die Wärme, welche in der
Einheit der Zeit und der Fläche durch die „äussere Reibung“ erzeugt
wird und welche nach beiden Seiten hin abfliesst.
Ist X = oo, so sind u — u , v — v', w — w' gleich Null und
zwar so, dass X{u — u), X(v — ?/), X{w — w') nicht unendlich sind,
da X x) F y , Z z , Y z , Z x , X y endlich sind; hiernach ist
X ((ii — u'f -f- (v — v7 + (w — m;') 2 ) = 0,
und die Reibungswärme verschwindet, ebenso wie für X — 0.
Der Natur der Sache nach sind die entwickelten Gleichungen ver
wickelter, als die entsprechenden der reinen Mechanik, die auf
Temperaturänderungen keine Rücksicht zu nehmen haben. Es ist
die letzte partielle Differentialgleichung und die letzte Grenzbedingung,
welche hier die grössere Complication herbeiführen.
Eine grosse Vereinfachung tritt ein, wenn man die Wärme
leitung und die Reibung vernachlässigen, also x, p, p', X gleich
Null setzen darf,*) was in manchen Fällen näherungsweise erlaubt
ist. Die letzte partielle Differentialgleichung (S. 118) giebt daun
— Mdp -f C v dT = 0;
das ist die Differentialgleichung der adiabatischen Beziehung zwischen
p und T\ hat man sie integrirt und zieht man hinzu die Gleichung
zwischen p, p, T, die für die Flüssigkeit gilt, so reduciren sich die
drei Unbekannten p, p, T auf eine, etwa p. Die Gleichungen sind
dann von derselben Form, wie in der reinen Mechanik; nur die Be
ziehung zwischen p und p ist eine andere, als wenn T sich nicht
änderte; die Aenderungen von T sind zu berechnen aus denen von p.
Einige hierher gehörige Fälle wollen wir betrachten. Zu weiterer
Vereinfachung nehmen wir an, dass ein Geschwindigkeitspotential cp
existirt, dass also ’ „
’ djp
dx ’
dcp
dy>
dcp
dz ’
u —
w —
*) Mithin auch:
X x =Y y = Z,=p,
Z„ = X,
D. H.
...
