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Bewegt sich ein Punkt auf einer krummen Fläche, ohne dafs auf ihn abge- 
gesehen von der Zwangskraft der Fläche eine änfsere Kraft einwirkt, so beschreibt 
er eine geodätische Linie. 
Es möge ferner die Gleichgewichtslage eines über eine krumme Fläche gespannten un 
dehnbaren Fadens bestimmt werden für den Fall, dafs anfser der Spannung des Fadens und dem 
Normal widerstände der Fläche keine Kräfte auf den Faden einwirken. Man bezeichne 3 aufein 
anderfolgende Punkte der Fadenkurve mit cc, x ± und « 2 , die zwischen ihnen liegenden Linien 
elemente mit dx und dx 11 und die Gröfse der Spannung in dem Elemente dx mit er. Dann 
werden die in diesem Elemente wirkenden Spannungskräfte ihrer Gröfse und Richtung nach 
dargestellt durch die Strecken 
dx , dx 
ö — und — g —. 
ds , ds 
Ferner werden die in dem Nachbarelemente dx 1 auftretenden Spannungskräfte die Werte besitzen 
müssen 
rlnr. / flrr\ 
und 
dx , , 
g —j— -]- d 
ds 
( dx\ , ( dx , , / ¿faAl 
r&j und ”T& + < TdijJ 
Yon diesen 4 Spannungskräften greifen die beiden mittleren in ein und demselben Punkte x x 
an, ihre Resultante wird daher durch die Summe beider Kräfte dargestellt und besitzt also 
den Wert 
dx dx , 7 
a ds +a ds +d 
dx 
ds 
= d g 
dx 
ds 
Soll nun der Faden im Gleichgewicht sein, so mufs diese Resultante durch den Normal wider 
stand der Fläche aufgehoben werden und wird somit selbst in die Flächennormale fallen müssen. 
Man erhält daher als Gleichgewichtsbedingung die Differenzialgleichung 
dx N 
246) d 
oder bei Ausführung der Differenziation 
ds 
l e v 
, dx , 
ClÖ • \~ O 
ds 
d 
dx 
ds 
/1 G v 
Diese Differenzialgleichung macht man integrabel, indem man sie mit der Neigungsstrecke der 
Fadenkurve, d. h. mit ^ (vgl. S. 10) innerlich multipliziert. Dadurch verschwindet nämlich 
cts 
erstens die rechte Seite der Gleichung, weil die Flächennormale auf der Fadentangente senkrecht 
steht, so dafs man erhält 
247) 
dG 
(dx\— 
dx 
7 dx 
y +o 
ds 
d ~r 
ds 
= 0. 
Es verschwindet aber ferner auch das zweite Glied der linken Seite, denn aus der Gleichung 
(dx s 
248) 
erhält man durch Differenziation 
249) 
ds 
dx 
ds 
= 1 
dx 
ds 
0.