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Zykloide. 
beiden Seiten hin in das Unendliche fortgeht und somit 
keine Grenzpunkte hat) auch in diesem Punkte zwei 
Bogenstücke Zusammentreffen, und zwar in der Art, daß 
sie, weil beide senkrecht auf der Grundlinie stehen, hier 
miteinander eine Spitze bilden, und zwar eine solche, w r o 
beide nur eine und dieselbe Richtung haben, oder (wie 
man schon minder richtig sagt) mit ihren Richtungen hier 
den Winkel Null einschließen. 
Allein man kann durch Rechnung überzeugt sein, daß 
sich dies alles in der Tat so verhalte, und doch nicht be 
greifen, wie es so komme, ja auch nur möglich sei. Um 
auch dies einleuchtend zu machen, wodurch das Para 
doxon erst gelöst wird, müssen wir zuvor begreifen, warum 
die Richtung, in welcher die gemeine Zykloide über ihre 
Grundlinie emporsteigt, eine senkrechte sei. 
Aus der Art, wie die gemeine Zykloide konstruiert 
werden kann, nämlich, daß man aus jedem Punkte o der 
Basis einen diese berührenden Kreisbogen mit dem Halb 
messer des erzeugenden Kreises beschreibt und, von dem 
selben ein Stück om von gleicher Länge mit der Entfer 
nung des Punktes o vom Anfangspunkte a abschneidend, 
m als einen Punkt der Zykloide betrachtet — ergibt sich 
sofort, daß der Winkel mao einem rechten immer näher 
tritt, je näher man mit dem Punkte o zu a rückt, indem 
der Winkel moa, dessen Maß der halbe Bogen om ist, 
immer kleiner und das Verhältnis der beiden Seiten oa 
und om im Dreiecke moa sich 
immer mehr dem Verhältnisse 
der Gleichheit nähert; daher 
die Winkel an der dritten 
Seite am sich immer weniger 
vom rechten unterscheiden. 
Die wirkliche Berechnung 
zeigt dies ganz deutlich. Hier 
aus folgt aber noch überdies, 
(X 
daß der Zykloidalbogen am ganz auf derselben Seite der 
Chorde am, namentlich zwischen ihr und dem aus a er-