Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen. 
95 
bekannten Wahrheit, daß die kürzeste durchaus zusammen 
hängende Linie, die zwei gegebene Punkte miteinander ver 
binden soll, nur die Gerade zwischen denselben ist*). 
Anders als bei den Linien ist es bei den Flächen, 
die bei derselben Länge bloß durch Verminderung ihrer 
Breite, und bei den Körpern, die bei derselben Länge 
und Breite bloß durch Verminderung ihrer Höhe so klein, 
als man nur will, gemacht werden können. Daraus begreift 
sich denn, warum auch Flächen, die eine unendliche Länge, 
und Körper, die neben einer unendlichen Länge auch eine 
unendliche Breite haben, zuweilen doch nur eine endliche 
*) Weil der Beweis dieser Wahrheit so kurz ist, erlaube ich 
mir, ihn dieser Note einzuverleiben. Ist die Linie amonb nicht 
gerade, so muß es irgendeinen Punkt o in ihr geben, der außer 
halb der Geraden ab liegt und es sind, wenn wir aus o das Lot 
ooj auf ab fällen, die Entfernungen 
aco -< ao, bco < bo. 
Da aber alle Systeme zweier Punkte einander ähnlich sind, so 
gibt es zwischen den Punkten a und co eine Linie a/aco, ähnlich 
dem zwischen den Punkten d und o liegenden Stücke amo der 
gegebenen amonb, und zwischen den Punkten b und co ebenfalls 
eine Linie bvco, ähnlich dem zwischen den Punkten b und o lie 
genden Stücke bno der gegebenen bnoma. Diese Ähnlichkeit 
aber fordert auch, daß sich die Länge der Geraden aco zur Länge 
der a/^co verhalte wie die Länge der Geraden ao zur Länge des 
Stückes amo und die Länge der Geraden bco zur Länge bvco wie 
die Länge der Geraden bo zur Länge des Stückes bno. Weil 
nun aco<^ao, so muß auch a^co <^amo und weil bco<^bo, so 
muß auch bvco <^bno sein. Folglich ist auch das Ganze a/j-covb<i 
das Ganze amonb. Die krumme Linie amonb ist also nicht die 
kürzeste zwischen a und b, sondern die a/icovb ist kürzer.