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Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen. 
auch unendlich vieler Verbindungsflächen können wir alle 
diese Flächen zu einer einzigen vereinen, deren Größe dann 
unstreitig eine unendlich große sein wird. Dieses alles kann 
auch niemand wundernehmen, der nicht vergißt, daß es 
nicht etwa dieselbe Einheit sei, mit der wir Linien, Flächen 
und Körper messen, und daß, obgleich die Menge der 
Punkte schon in jeder auch noch so kleinen Linie eine 
unendliche ist, in einer Fläche diese Menge jedenfalls noch 
unendlichemal größer als in der Linie, in einem Körper 
endlich mit ebensolcher Gewißheit unendlichemal größer als 
in der Fläche vorausgesetzt werden muß. 
3. Das dritte, im Anfänge dieses Paragraphen erwähnte 
Paradoxon lautete, daß es auch Ausdehnungen gäbe, die 
eine unendliche Menge von Umläufen um einen gewissen 
Punkt herum machen, und dabei gleichwohl eine endliche 
Größe behalten. Soll eine solche Ausdehnung lineär sein, 
so kann dies, wie wir soeben in Nr. 1 sahen, nur dann 
erfolgen, wenn sich die ganze Linie in einem endlichen 
Raume befindet. Unter dieser Bedingung aber liegt durch 
aus nichts Unbegreifliches in der Erscheinung, daß sie eine 
endliche Länge behalte, obgleich sie der Umläufe um einen 
gegebenen Punkt unendlich viele vollbringt; wird nur die 
fernere Bedingung noch erfüllt, daß diese Umläufe von 
einer endlichen Größe beginnend, in der gehörigen Weise 
bis ins Unendliche abnehmen, eine Forderung, die wieder 
durch den Umstand ermöglicht wird, daß es ein bloßer 
Punkt ist, um welchen jene Umläufe erfolgen sollen. Denn 
dies erlaubt, daß die Entfernungen, welche die einzelnen 
Punkte eines solchen Umlaufes von diesem Mittelpunkte 
und somit auch untereinander selbst haben, in das Unend 
liche abnehmen können; wo dann die Kreislinie selbst uns 
lehrt, daß auch die Länge dieses Umlaufes in das Unend 
liche vermindert werden könne. Die logarithmische 
Spirale, wenn bloß dasjenige Stück derselben ins Auge 
gefaßt werden soll, das, anzufangen von einem gegebenen- 
Punkte dem Centro stets sich annähert, ohne doch je in 
dasselbe einzufallen, wird sich unseren Leseren als Beispiel