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Paradoxien bei räumlichen Ausdehnungen.
auch unendlich vieler Verbindungsflächen können wir alle
diese Flächen zu einer einzigen vereinen, deren Größe dann
unstreitig eine unendlich große sein wird. Dieses alles kann
auch niemand wundernehmen, der nicht vergißt, daß es
nicht etwa dieselbe Einheit sei, mit der wir Linien, Flächen
und Körper messen, und daß, obgleich die Menge der
Punkte schon in jeder auch noch so kleinen Linie eine
unendliche ist, in einer Fläche diese Menge jedenfalls noch
unendlichemal größer als in der Linie, in einem Körper
endlich mit ebensolcher Gewißheit unendlichemal größer als
in der Fläche vorausgesetzt werden muß.
3. Das dritte, im Anfänge dieses Paragraphen erwähnte
Paradoxon lautete, daß es auch Ausdehnungen gäbe, die
eine unendliche Menge von Umläufen um einen gewissen
Punkt herum machen, und dabei gleichwohl eine endliche
Größe behalten. Soll eine solche Ausdehnung lineär sein,
so kann dies, wie wir soeben in Nr. 1 sahen, nur dann
erfolgen, wenn sich die ganze Linie in einem endlichen
Raume befindet. Unter dieser Bedingung aber liegt durch
aus nichts Unbegreifliches in der Erscheinung, daß sie eine
endliche Länge behalte, obgleich sie der Umläufe um einen
gegebenen Punkt unendlich viele vollbringt; wird nur die
fernere Bedingung noch erfüllt, daß diese Umläufe von
einer endlichen Größe beginnend, in der gehörigen Weise
bis ins Unendliche abnehmen, eine Forderung, die wieder
durch den Umstand ermöglicht wird, daß es ein bloßer
Punkt ist, um welchen jene Umläufe erfolgen sollen. Denn
dies erlaubt, daß die Entfernungen, welche die einzelnen
Punkte eines solchen Umlaufes von diesem Mittelpunkte
und somit auch untereinander selbst haben, in das Unend
liche abnehmen können; wo dann die Kreislinie selbst uns
lehrt, daß auch die Länge dieses Umlaufes in das Unend
liche vermindert werden könne. Die logarithmische
Spirale, wenn bloß dasjenige Stück derselben ins Auge
gefaßt werden soll, das, anzufangen von einem gegebenen-
Punkte dem Centro stets sich annähert, ohne doch je in
dasselbe einzufallen, wird sich unseren Leseren als Beispiel
