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Größe ..." sollte es wohl statt „der“ heißen: „einer“, da es ja 
sehr wohl verschiedene unendlich große und unendlich kleine 
Größen geben kann. Wenn B. weiter feststellt, eine unendliche 
Größe könne nicht als Zahl betrachtet werden, so liegt das 
durchaus an der sehr engen Definition des Begriffes Zahl, von 
der er ausgeht (§ 8), indem er das Wort „Zahl“ nur in dem Sinne 
verwendet, in dem man heute sagt „natürliche Zahl“. Demzu 
folge bezeichnet denn auch B. die Brüche -3-, . . •, die irratio- 
3.— 
nalen „Ausdrücke“ y2, |/2, ... nicht als Zahlen, sondern ledig 
lich als Größen, während man sie heute allgemein als rationale 
bzw. irrationale Zahlen bezeichnet. Und so treten denn auch in 
G. Cantors Mengenlehre unendliche (transfinite) Zahlen auf. 
Was dagegen von philosophischer Seite eingewendet wurde, läuft 
auf einen bloßen Wortstreit hinaus: es handelt sich dabei ja nur 
darum, einen wie weiten Sinn man dem Worte „Zahl“ bei 
legen will. 
§ 18. Was hier über Summen von unendlich vielen Größen 
gesagt ist, insbesondere die in Fußnote*) durchgeführte Rechnung, 
entspricht nicht den heutigen Ansichten über diesen Gegenstand. 
B. glaubt sich wohl auf Grund des in § 5 eingeführten Summen 
begriffes berechtigt, ohne weiteres eine Summe aus unendlich 
vielen Summanden zu betrachten. Wir haben schon gesehen, 
daß diese Definition des Begriffes Summe zu unbestimmt ist, 
um mit ihr etwas anfangen zu können. Man wird also gegen B.s 
Beweisführung einzuwenden haben, daß mit den in ihr auftreten 
den Summen gar kein präziser Begriff verbunden ist, und daß 
die mit ihnen vorgenommenen Rechnungen (wie z. B. Ausklammern 
eines gemeinsamen Faktors) durch nichts begründet sind. 
Die heutige Mathematik stützt sich, um den Begriff einer 
Summe aus unendlich vielen (reellen oder komplexen) Zahlen 
einzuführen, auf den Begriff des Grenzwertes einer Zahlen 
folge, dessen genaue Definition die folgende ist*). Man sagt: die 
Zahlenfolge b u 6 2 , ..., b n , ... hat die Zahl b zur Grenze, oder: 
sie hat den Grenzwert b, in Zeichen lim b n — b, wenn — wie 
n—*~ 
klein die positive Zähl s auch gegeben sein mag — alle Zahlen 
der Folge, mit höchstens endlich vielen Ausnahmen, der Un 
*) Näheres hierüber in allen besseren Lehrbüchern der Differentialrechnung 
oder z. B. A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre, x. Bd., 
S. 160.