138 
Anmerkungen zu § 18. 
gleichung genügen \b n — b | < s (d. h. sich von b um weniger als 
s unterscheiden). Eine gegebene Zahlenfolge kann einen Grenz 
wert besitzen, doch muß dies nicht sein. Besitzt sie einen Grenz 
wert, so heißt sie konvergent, besitzt sie keinen, so heißt sie 
divergent. — Um nun den Begriff einer Summe aus unendlich 
vielen Zahlen (oder, wie statt dessen gewöhnlich gesagt wird: 
die Summe einer unendlichen Reihe) zu definieren*), geht 
man aus vom Begriffe der Summe zweier Zahlen. Durch voll 
ständige Induktion definiert man zunächst den Begriff der Summe 
aus n Zahlen -f «, 2 +...-f-an, indem man annimmt, es sei schon 
bekannt, was unter einer Summe aus n — i Zahlen + <z 2 -j-. .. 
-\-a n —i zu verstehen sei, und dann festsetzt: ist s n — i der Wert 
der Summe a i -f a. 2 -R... + a n — i, so sei der Wert s n der Summe 
+ <V+~ • ■ • + ein gegeben durch: 
Sn = Sn— i T Cln. 
Und nun wird der Begriff „Summe der unendlichen Reihe a L -f- a 2 
+ .in folgender Weise definiert. Man bilde aus ihr 
die Folge ihrer „Teilsummen“: 
5 i — a i> s 2 — a \. a -2> s a = a i + a 2 H“ a si • • •} s n~ + ß 2 4* • • • + a n, • • - . 
Ist diese Zahlenfolge konvergent, und ist s ihr Grenzwert: 
lim Sn = s, 
n —> 00 
so definieren wir s als die Summe unserer unendlichen Reihe; 
T (l<2 -j- . . . -f- dn “}-••• —— S . 
Ist hingegen die Folge der Teilsummen divergent, so soll von 
einer Summe unserer unendlichen Reihe nicht gesprochen, und 
das Symbol a x + a 2 + ... -\-a n -\-... als sinnlos betrachtet werden. 
Also kurz gesprochen: Summe der unendlich vielen Summanden 
(Summe der unendlichen Reihe) a t -J- a 2 + .., + »« + ... ist Grenz 
wert ihrer Teilsummen, falls es einen solchen Grenzwert gibt. 
Auf Grund dieser Definition ist es nun auch leicht, die im 
Texte behandelte Gleichung: 
a-\- ae-\-ae*ae" + .. — 
zu beweisen. Die n-te Teilsumme ist hier: 
Sn = ei ci 6 T~... -f- o № I , 
*) Vgl. z. B. A. Pringsheim a. a. O. S. 293. 
i — e 
(MO)