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Anmerkungen zu § 21—27. 
tigkeit als die Menge N. Die Definition lautet: Ist die Menge 
N äquivalent einem Teile von M, aber nicht äquivalent mit M 
selbst, dann hat M größere Mächtigkeit als N. G. Cantor hat 
bewiesen, daß die Menge aller reellen Zahlen größere Mächtig 
keit hat als die Menge aller natürlichen Zahlen*), ferner daß die 
Menge aller Teilmengen der Menge M stets größere Mächtig 
keit**) hat als die Menge M selbst***). 
Der Nachweis, daß die Mächtigkeiten der Mengen ihrer Größe 
nach geordnet werden können (d. h. daß von je zwei Mächtig 
keiten, die nicht gleich sind, die eine größer als die andere ist), 
erforderte schwierige Untersuchungen. Er wurde erbracht durch 
G. Cantors Theorie der wohlgeordneten Mengen, auf die 
wir hier nicht eingehen können f). 
§ 22. Bei dem hier geschilderten Verfahren zur Ermittlung 
der Anzahl einer endlichen Menge durch Numerieren ihrer Ele 
mente fehlt der Nachweis, daß die ermittelte Anzahl unabhängig 
ist von der Reihenfolge, in der die Elemente numeriert werden. 
Der erste, der die Notwendigkeit eines solchen Nachweises er 
kannte, scheint E. Schröder gewesen zu seinff). Ausführlich 
findet man diesen Beweis bei A. Pringsheim, Vorlesungen über 
Zahlen- und Funktionenlehre, 1. Bd, S. 15. Vgl. auch meine kri 
tischen Bemerkungen hierzu: Göttingische gelehrte Anzeigen, 
1919, S. 328. 
§ 27. Der Ableugnung unendlich großer und unendlich kleiner 
Zeitlängen, Entfernungen, Kräfte ist durchaus zuzustimmen: wo 
in den Anwendungen der Mathematik (insbesondere auf Physik) 
von unendlich kleinen Größen dieser Art die Rede ist, handelt 
es sieh stets um eine abgekürzte Ausdrueksweise; die in den 
Überlegungen wirklich auftretenden Größen müssen sämtlich 
endlich sein. Der Beweis aber, durch den B. diese Ableugnung 
begründet, ist gewiß nicht überzeugend; so glaubt B. u. a. nach- 
weisen zu können (S. 39, Z. 2 v. u.), „daß aus der Angabe der 
beiden Zeitpunkte a und ß, aus der Angabe der sämtlichen Kräfte, 
welche die geschaffenen Substanzen in dem Zeitpunkte a gehabt, 
*) Vgl. A. Fraenkel a. a. O. S. 35. 
**) Vgl. A. Fraenkel a. a. O. S. 48. 
***) Soll dies auch für Mengen gelten, die nur aus einem oder zwei Elementen 
bestehen, so muß man zu den Teilen von M auch M selbst und die „leere 
Menge“ (die gar kein Element enthält) rechnen, 
f) Vgl. A. Fraenkel a. a. O. S. 124ff. 
tt) Vgl. H. v. Helmholtz, Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. 3, S. 358.