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Anmerkungen zu § 28. 
transfiniten Kardinalzahlen)*) ist, wie in der Mengenlehre ge 
zeigt wird, sehr wohl eine Rechnung möglich: 
Seien m und n zwei Mächtigkeiten. Um die Summe m + n 
zu definieren, gehen wir aus von einer Menge M der Mächtig 
keit nt und einer Menge N der Mächtigkeit n, die mit M kein 
Element gemein habe. Wir bilden die „Vereinigungsmenge“ von 
AT und N, die aus sämtlichen Elementen von M und sämtlichen Ele 
menten von N besteht, und definieren: m + n ist die Mächtigkeit dieser 
Vereinigungsmenge. — Um das Produkt mn zu definieren, gehen 
wir wieder aus von einer Menge M der Mächtigkeit nt und einer 
Menge N der Mächtigkeit n. Wir bilden alle möglichen Paare (a,b), 
deren erstes Glied a zu M, deren zweites Glied b zu N gehört. Die 
Menge aller dieser Paare bezeichnen wir als die „Verbindungs 
menge“ von M mit N und definieren: mit ist die Mächtigkeit 
dieser Verbindungsmenge. — Um die Potenz m n zu definieren, 
ordnen wir jedem Elemente von N ein Element von M zu (wo 
bei sehr wohl auch verschiedenen Elementen von N dasselbe 
Element von M zugeordnet werden darf), und nennen eine solche 
Zuordnung auch eine Belegung von N mit Elementen von AI. 
Die Menge aller solchen Belegungen nennen wir die „Belegungs 
menge“ von N mit M und definieren: in« ist die Mächtigkeit dieser 
Belegungsmenge. 
Diese Definitionen von Summe, Produkt und Potenz können 
mit Recht als Erweiterungen aufs Unendliche der für natürliche 
Zahlen geläufigen Definitionen angesehen werden. Denn sind AI 
und A endliche Mengen, so ergeben unsere Definitionen tatsäch 
lich die bekannten Werte von Summe, Produkt, Potenz zweier natür 
licher Zahlen. Auch die für natürliche Zahlen bekannten Rech 
nungsregeln, sofern sie sich durch Gleichungen ausdrücken 
(assoziatives, kommutatives, distributives Gesetz), bleiben für be 
liebige Mächtigkeiten bestehen, nicht aber die durch Unglei 
chungen ausgedrückten. Daher rührt es auch, daß die inversen 
Operationen (Subtraktion, Division) auf unendliche Mächtigkeiten 
nicht übertragen werden können. 
Der hier skizzierte Kalkül mit Mächtigkeiten hat sich als 
sehr fruchtbar erwiesen. Um nur ein Beispiel zu geben: bedeutet 
*) Ähnliches gilt auch für Cantors Ordnungstypen, die in demselben 
Sinne eine Ausdehnung des Begriffes „Ordinalzahl“ auf unendliche Mengen liefern, 
wie dies die Mächtigkeiten für den Begriff „Kardinalzahl“ leisten (vgl. A. F r a e nk e 1, 
Einl. i d. Mengenlehre, S. 78 ff).