Anmerkungen zu § 28—32. 
a die Mächtigkeit der Menge aller natürlichen Zahlen, c die Mäch 
tigkeit der Menge aller reellen Zahlen, so besteht, wie G. Can- 
tor gezeigt hat, die Beziehung*) c = 2<*. Daraus folgt durch Rech 
nung : 
c 2 = 2 a ■ 2 a — 2 aJ T a — 2 a = C. 
Die so errechnete Gleichung c 2 = c drückt die (in der Bemer 
kung zu § 21 erwähnte) Tatsache aus, daß die Menge aller 
Punkte einer Geraden und die Menge aller Punkte einer Ebene 
gleiche Mächtigkeit haben. 
§ 29. Die Erörterungen dieses Paragraphen sind vielen Ein 
wendungen ausgesetzt. Im Sinne der Mengenlehre haben die mit 
o n o 
N,N,S bezeichneten Mengen alle dieselbe Mächtigkeit, denn sie 
sind alle äquivalent der Menge der natürlichen Zahlen, haben also 
gleiche Mächtigkeit wie diese (in Cantors Terminologie: sie sind 
sämtlich abzählbar-unendlich). 
O 
Was unter aiV (S. 45, Z. 9 v. u.) zu verstehen wäre, ist nicht 
ersichtlich. Auch woher B. die Berechtigung nimmt, die Glei 
chung : 
Mult. (8 — 7) = Mult. (13 — 12) 
anzusetzen, ist — nach dem zu § 19 Gesagten — nicht zu sehen. 
§ 30. Die Einführung Unendlich-kleiner als Reziprokwerte 
Unendlich-großer bängt völlig in der Luft, solange nicht eine 
Division Unendlich-großer definiert ist, was nicht der Fall ist. 
Die angedeutete Einführung Unendlich-kleiner durch die Wahr 
scheinlichkeitsrechnung könnte sich möglicherweise als fruchtbar 
erweisen. 
§ 31. Die hier von B. geübte Kritik ist ganz im Sinne der 
heutigen Mathematik. 
§ 32. B.s These, die unendliche Reihe a — a + fl — 0 + ... 
sei ein „gegenstandsloser Größenausdruck“ würden wir (vgl. die 
Bemerkungen zu § 18) heute so ausdrücken; diese Reihe ist 
(wenn tf=p°) divergent, und dies wäre in folgender Weise zu 
begründen: Die Folge ihrer Teilsummen ist: 
a, a — a = o, a — a a — a, a — a a — a — o, ... 
d. h. es ist die Folge a, o, a, o, Diese Folge besitzt keinen 
Grenzwert, d. h. sie ist divergent. 
*) Vgl. A. Fraenkel a. a. O. S. 77. 
Bolzano, Paradoxien des Unendlichen.