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Anmerkungen zu § 32—35. 
Die von B aufgestellte Forderung, die Summe einer unend 
lichen Reihe dürfe keine Veränderung in ihrem Werte erfahren, 
welche Veränderung wir auch in der Aufeinanderfolge ihrer 
Glieder vornehmen mögen, wird durch die in unseren Bemer 
kungen zu § 18 gegebene und heute allgemein übliche Definition 
nicht erfüllt. So kann man z. B. aus der Reihe x — 2 + i" — 1' + • • • 
(deren Summe — lg 2 ist)*) durch bloßes Umordnen der Glieder 
eine Reihe erhalten, deren Summe eine beliebig vorgegebene 
reelle Zahl ist**), und dasselbe trifft für alle Reihen a 2 + ... 
-f a« -f ,., aus reellen Zahlen zu, die selbst konvergieren, während 
die Reihe aus den absoluten Beträgen | | -f j a 2 1 + ••• + !«» | + •• • 
divergiert***). 
§ 33- Vgl. die Bemerkungen zu § 29. 
§ 34. Zur Unmöglichkeit der Division durch o sei folgendes 
bemerkt. Die Division wird definiert als Umkehrung der Multipli 
kation: A durch B dividieren, heißt eine Zahl x aus der Gleichung 
B x — A bestimmen. Ist nun B — o und A^=o, so hat diese 
Gleichung keine Lösung; ist B = o und A — o, so ist durch diese 
Gleichung keine Zahl x bestimmt, weil ihr jede Zahl genügt. In 
diesem Sinne gibt es also niemals eine Division durch o, ein 
A 
Quotient — ist eine sinnlose Zeichenkombination. Man wird also, 
A A 
im Gegensätze zu B., auch eine „identische“ Gleichung —- = 
nicht zuzulassen haben, da ihre beiden Seiten sinnlos sind. 
§ 35. Das hier Gesagte deckt sich völlig mit den Ansichten 
der heutigen Mathematik. Zur näheren Erläuterung des über das 
Messen Gesagten diene folgendes: Es sei uns ein System (posi 
tiver) Größen gegeben, die addiert werden können (z. B. die 
Strecken der Geometrie), Es ist dann klar, was unter einem 
Vielfachen p ■ N der Größe N (/> bedeutet eine natürliche Zahl). 
sowie unter dem Teile — N (wo q eine natürliche Zahl bedeutet) 
zu verstehen ist. 
Damit ist auch gegeben, was 
— N bedeutet: es 
q 
ist das /»-fache des ^-ten Teiles von N. 
Ist M eine zweite Größe des Systèmes, und 
so sagen 
*) Vgl. A. Pringsheim, Vorl. über Zahlen- n. Funktionenlehre, i. Bd., S, 415. 
**) Vgl. A. Pringsheim a. a. O. S. 42911. 
***) Vgl. A. Pringsheim a. a. O. S. 401H.