Anmerkungen zu § 35, 36. 
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wir: M steht in rationalem Verhältnisse zu N. Doch kann es 
sehr wohl Größen M geben, die zu N nicht in rationalem Ver 
hältnisse stehen. Sei M eine solche. Gibt es dann ein Vielfaches 
n • M das M ist*), so können die ganzen Zahlen p 1} p 2 , p 3 , ..., 
pq, ... so bestimmt werden, daß: 
A - N<M< (A + 1) • N; 4- ' N < M < 
(*) 2 2 
(A±i) N, A ■ N< M< 
Gilt das Axiom des Archimedes für unser Größensystem, so 
kann es darin nur eine einzige Größe M geben, die allen diesen 
Ungleichungen genügt; denn angenommen, es gäbe noch eine 
zweite M', und es wäre etwa**) so müßte sein: 
M' — M <N; 
— — M' — M< — N...., — — 
2 3 q 
es wären also sämtliche Vielfache q (M’ — M) •< N, entgegen dem 
Axiome des Archimedes. Gilt hingegen das Axiom des Archi 
medes nicht, so kann es sehr wohl außer M noch eine zweite 
Größe M’ geben, die sämtlichen Ungleichungen (*) genügt. Im 
ersten Falle ist also durch Angabe der Ungleichungen (*) die 
Größe M völlig bestimmt, im zweiten nicht. Die übliche Art des 
Messens der Größe M durch eine Einheit N besteht nun aber, 
wenn nicht gerade M zu N in rationalem Verhältnis steht, eben 
in der Angabe der Ungleichungen (*); sie beruht also durchaus 
auf dem Axiome des Archimedes. 
§ 36. Auch den Ausführungen dieses Paragraphen ist durch 
aus zuzustimmen. Wenn auch in den heutigen Lehrbüchern der 
Differentialrechnung vielfach von der „Ermittlung des wahren 
Wertes“ eines Bruches 
F{x) 
gesprochen wird, der für x — a „in 
der unbestimmten Form — erscheint“, so handelt es sich dabei 
o 
tatsächlich — ganz wie dies B. auseinandersetzt — lediglich um 
*) Dies ist sicher der Fall, wenn für unser Größensystem das Axiom des 
Archimedes gilt (vgl. die Bemerkung zu § 27), anderenfalls muß es nicht der 
Fall sein. 
Ware M‘ -c .V, so ist im folgenden M‘ — M durch M—M* zu ersetzen. . 
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