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Anmerkungen zu § 46, 47. 
S. 89, Z. 4 v. u. ergibt sich so: Es ist mr —■ pr — pm. Hierin ist 
pr der Kreisradius a, und für pm erhält man aus dem recht 
winkligen Dreiecke apm, indem man ap = dx setzt; 
Also ist: 
/a 2 — dx 2 == a 
mr — a 
Indem man hierin die Wurzel nach dem binomischen Lehrsätze 
entwickelt, erhält man die gewünschte Gleichung*). 
Wir würden heute zu dem Galileischen „Paradoxon“ folgen 
des sagen. Die Gleichung: 
71 ■ pri* — Ji-pr'- — X 'p m? 
drückt aus, daß der Kreis vom Halbmesser ap—pn gleichen 
Flächeninhalt hat wie der Ring zwischen den Kreisen der Halb 
messer pr und pm. Lassen wir ap gegen 0 konvergieren, so 
zieht sich der Kreis vom Halbmesser ap auf den Punkt a zu 
sammen, der Kreisring auf die Peripherie des Kreises vom Halb 
messer pr. Dieser Grenzübergang lehrt also lediglich, daß diese 
beiden Punktmengen (die eine bestehend aus dem Punkte a, die 
andere aus der Kreisperipherie) gleichen Flächeninhalt haben. 
Das aber ist wéder falsch noch paradox, sondern es ist trivial, 
denn sie haben beide den Flächeninhalt o. Der Anschein eines 
Paradoxons kommt nur zustande durch die irrige Auffassung, als 
sei der Inhalt einer Punktmenge ein Maß für die Vielheit der in 
ihr enthaltenen Punkte. 
§ 47. Die gemeine Zykloide ist die Kurve, die ein Punkt 
eines Kreises beschreibt, der auf einer Geraden (der „Basis") 
rollt ohne zu gleiten. Aus dieser Definition folgt unmittelbar 
die auf S. 92, Z. 16 v. o., angegebene Konstruktion des Punktes 
m der Zykloide, denn es muß der auf der Geraden zurückge 
legte Weg ao gleich dem aufgerollten Bogen om des erzeugen 
den Kreises sein. 
Die Behauptung, daß das Maß des Winkels moa der halbe 
Bogen om ist (S. 92, Z. 13 v. u.), beweist man so: man führe den 
Mittelpunkt q des erzeugenden Kreises ein, dem der Bogen om 
*) Vgl. H, v. Mangoldt, Einführung i. d. höhere Mathematik, Bd.2, S. 122.