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Vergleichung unendlicher Mengen. 
Größen selbst doch nur eine endliche Größe gäbe, liegt 
sicher nichts Widersprechendes, weil sie sonst nicht als 
wahr sich erweisen ließe. Das Paradoxe aber, das man 
in ihr gewahren dürfte, geht nur daraus hervor, daß man 
vergißt, wie die hier zu addierenden Glieder immer kleiner 
und kleiner werden. Denn daß eine Summe von Addenden, 
deren jeder folgende z. B. die Hälfte von dem nächstvor 
hergehenden beträgt, nie mehr betragen könne, als das 
Doppelte des ersten, kann wohl niemand befremden, in 
dem bei jedem auch noch so späten Gliede dieser Reihe 
zu jenem Doppelten immer gerade so viel noch mangelt, 
als dieses letzte Glied beträgt. 
§ i9- 
• 
Schon bei den bisher betrachteten Beispielen des Un 
endlichen konnte uns nicht entgehen, daß nicht alle unend 
liche Mengen in Hinsicht auf ihre Vielheit einander 
gleich zu achten seien; sondern daß manche derselben 
größer (oder kleiner) als eine andere sei, d. h. die andere 
als einen Teil in sich schließe (oder im Gegenteile sich 
Die beiden Gleichungen (3) und (5) geben durch Verbindung 
— e n 
4- P 
— e n 
1 — en 
oder 
e n 
P + — P = 
* 1 — e 11 
e n 
woraus zu ersehen, daß, wenn wir n beliebig groß annehmen 
e n 
und dadurch den Wert von unter Jede beliebige, auch noch 
so kleine Größe herabdrücken, auch jede der Größen P und 
e n 2 
— • P für sich unter jeden beliebigen Wert herabsinken müsse. 
Ist aber dieses, so belehrt jede der beiden Gleichungen (3) und 
(5), daß, weil doch S bei einerlei e nur einen unveränderlichen 
Wert haben, somit nicht von n abhängen kann, S — —-— sei. 
1 — e