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Vergleichung unendlicher Mengen. 
länger zu verweilen. Ich behaupte nämlich: zwei Mengen, 
die beide unendlich sind, können in einem solchen Ver 
hältnisse zueinander stehen, daß es einerseits möglich ist, 
jedes der einen Menge gehörige Ding mit einem der anderen 
zu einem Paare zu verbinden mit dem Erfolge, daß kein 
einziges Ding in beiden Mengen ohne Verbindung zu einem 
Paare bleibt, und auch kein einziges in zwei oder mehreren 
Paaren vorkommt; und dabei ist es doch andererseits 
möglich, daß die eine dieser Mengen die andere als einen 
bloßen Teil in sich faßt, so daß die Vielheiten, welche sie 
vorstellen, wenn wir die Dinge derselben alle als gleich, 
d. h. als Einheiten betrachten, die mannigfaltigsten Ver 
hältnisse zueinander haben. 
Den Beweis dieser Behauptung werde ich durch zwei 
Beispiele führen, in welchen das Gesagte unwidersprechlich 
stattfindet. 
i. Nehmen wir zwei beliebige (abstrakte) Größen, z. B. 
5 und 12; so leuchtet ein, daß die Menge der Größen, 
welche es zwischen Null und 5 gibt (oder die kleiner als 
5 sind), ingleichen auch die Menge der Größen, die kleiner 
als 12 sind, unendlich sei; und ebenso gewiß ist die letzte 
Menge für größer als die erste zu erklären, da diese ja 
unwidersprechlich nur ein Teil von jener ist. Wir können 
sogar, wenn wir an die Stelle der Größen 5 und 12 was 
immer für andere setzen, nicht umhin zu urteilen, daß jene 
beiden Mengen nicht immer dasselbe Verhältnis gegenein 
ander behalten, sondern vielmehr in die verschiedenartigsten 
Verhältnisse treten. Allein nicht minder wahr als alles dieses 
ist auch nachstehendes: Wenn x was immer für eine zwischen 
Null und 5 gelegene Größe bezeichnet, und wir bestimmen 
das Verhältnis zwischen x und y durch die Gleichung 
5 y = 12 x, 
so ist auch y eine zwischen Null und 12 liegende Größe; 
und umgekehrt, so oft y zwischen Null und 12 liegt, so 
liegt x zwischen Null und 5. Auch folgt aus jener Glei 
chung, daß zu jedem Werte von x nur ein Wert von y,