Vergleichung unendlicher Mengen. 
29 
und umgekehrt gehöre. Aus diesem beiden ist aber klar, 
daß es zu jeder in der Menge der zwischen Null und 5 
liegenden Größen = x eine in der Menge der zwischen 
o und 12 liegenden Größen = y gebe, die sich mit jener 
zu einem Paare verbinden läßt, mit dem Erfolge, daß nicht 
ein einziges der Dinge, aus denen diese beiden Mengen 
bestehen, ohne Verbindung zu einem Paare bleibt und 
auch kein einziges in zwei oder mehreren Verbindungen 
auftritt. 
2, Das zweite Beispiel werde von einem räumlichen 
Gegenstände entlehnt. Wer es schon weiß, daß die Be 
schaffenheit des Raumes auf jene der Zeit, und die Be 
schaffenheiten der Zeit auf jene der abstrakten Zahlen und 
Größen sich gründen, brauchte freilich nicht erst aus einem 
Beispiele zu ersehen, daß es dergleichen unendliche Mengen, 
wie wir soeben unter den Größen überhaupt gefunden, auch 
in der Zeit und in dem Raume gäbe. Doch ist es wegen 
der richtigen Anwendung, die wir von unserem Satze in der 
Folge zu machen haben, nötig, wenigstens einen Fall, wo 
solche Mengen vorhanden sind, im einzelnen zu betrachten. 
Es seien also a, b, c drei beliebige Punkte in einer Ge 
raden, und das Verhältnis der Entfernungen ab'.ac ein 
ganz beliebiges, doch so, daß ac die größere von beiden 
bezeichne. Dann wird, obgleich 
b 
x 
die Mengen der Punkte, welche in den ab und ac liegen, 
beide unendlich sind, dennoch die Menge der Punkte in ac 
jene der Punkte in ab übertreffen, weil in der ac nebst 
allen Punkten der ab auch noch alle der bc liegen, die in 
ab nicht anzutreffen sind. Ja wir können sogar nicht um 
hin, wenn das Verhältnis der Entfernungen ab'.ac beliebig 
abgeändert wird, zu urteilen, daß auch das Verhältnis dieser 
zwei Mengen ein sehr verschiedenes sein werde. Gleich 
wohl gilt auch von diesen zwei Mengen dasselbe, was vor