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Vergleichung unendlicher Mengen. 
hin von den zwei Mengen der Größen, die zwischen o und 5 
und zwischen o und 12 liegen, in Hinsicht auf die Paare, 
welche sich aus je einem Dinge der einen und je einem 
der anderen Menge bilden lassen, erwiesen wurde. Denn 
sei x irgendein Punkt in der ab: so wird, wenn wir in der 
Richtung ax den Punkt y so nehmen, daß das Verhältnis 
ab : ac = ax; ay 
bestehe, auch y ein Punkt in ac sein. Und wenn umgekehrt 
y ein Punkt in ac ist, wird x, wenn wir nur ax aus ay 
nach derselben Gleichung bestimmen, ein Punkt der ab sei. 
Auch wird ein jedes andere x ein anderes y und umgekehrt 
ein jedes andere y ein anderes x bestimmen. Aus diesen 
beiden Wahrheiten aber ist abermals zu ersehen, daß sich 
zu jedem Punkte der ab ein Punkt der ac, und zu jedem 
der ac ein Punkt der ab auswählen lasse, mit dem Erfolge, 
daß von den Paaren, die wir aus je zwei solchen Punkten 
bilden, behauptet werden kann, es sei kein einziger Punkt 
weder in der Menge der Punkte von a b, noch in der Menge 
der Punkte von ac, der nicht in einem dieser Paare er 
schiene, und auch kein einziger, der zwei- oder mehrmal 
daselbst erschiene. 
§ 21. 
Bloß aus dem Grunde also, weil zwei Mengen A und B 
in einem solchen Verhältnisse zueinander stehen, daß wir 
zu jedem in der einen A befindlichen Teile a, nach einer 
gewissen Regel verfahrend, auch einen in B befindlichen 
Teil b mit dem Erfolge aussuchen können, daß die sämt 
lichen Paare (a-j-b), die wir so bilden, jedes in A oder B 
befindliche Ding enthalten und jedes nur einmal enthalten — 
bloß aus diesem Umstande ist es — so sehen wir — noch 
keineswegs erlaubt zu schließen, daß diese beiden Men 
gen, wenn sie unendlich sind, in Hinsicht auf die 
Vielheit ihrer Teile (d. h. wenn wir von allen Verschieden 
heiten derselben absehen) einander gleich seien; sondern