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Vergleichung unendlicher Mengen. 
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sie können trotz jenem Verhältnisse zwischen ihnen, das 
für sich selbst allerdings beiderseits gleich ist, ein Verhält 
nis der Ungleichheit in ihren Vielheiten haben, so daß die 
eine derselben sich als ein Ganzes, davon die andere ein 
Teil, herausstellen kann. Auf eine Gleichheit dieser Viel 
heiten wird erst geschlossen werden dürfen, wenn irgend 
ein anderer Grund noch dazukommt, wie etwa, daß beide 
Mengen ganz gleiche Bestimmungsgründe, z. B. eine ganz 
gleiche Entstehungsweise haben. 
§ 22. 
Das Paradoxe, das — wie ich gar nicht in Abrede 
stelle — diesen Behauptungen anklebt, geht einzig aus dem 
Umstande hervor, daß jenes gegenseitige Verhältnis, welches 
wir an den zwei miteinander verglichenen Mengen finden, 
bestehend darin, daß wir die Teile derselben mit dem schon 
mehrmals erwähnten Erfolge paarweise zusammenstellen 
können, in jedem Falle, wo diese Mengen endlich sind, 
allerdings hinreicht, um sie in Hinsicht auf die Vielheit 
ihrer Teile für völlig gleich zu erklären. Zwei endliche 
Mengen nämlich, wenn sie von einer solchen Beschaffenheit 
sind, daß wir zu jedem Dinge a der einen, eines der anderen 
h auffinden und zu einem Paare vereinigen können, mit 
dem Erfolge, daß in keiner der beiden Mengen ein Ding 
zurückbleibt, für das sich kein entsprechendes in der anderen 
vorfände, und daß es auch keines gibt, das in zwei oder 
mehreren Paaren erschiene, sind ihrer Vielheit nach ein 
ander immer gleich. Es gewinnt also den Anschein, daß 
dieses auch der Fall sein sollte, wenn diese Mengen, statt 
endlich, unendlich sind. 
So scheint es, sage ich; aber bei einer näheren Be 
trachtung zeigt sich, daß es keineswegs so zu sein brauche, 
indem der Grund, warum es bei allen endlichen Mengen 
eintrifft, nur eben in ihrer Endlichkeit liegt, bei den un 
endlichen also wegfällt. Sind nämlich beide Mengen A 
und B endlich, oder (denn auch schon dieses genügt) wissen