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Vergleichung unendlicher Mengen. 
wir nur von der einen A y daß sie endlich sei, und sehen 
wir, um beide Mengen jetzt nur in Hinsicht auf ihre Viel 
heiten zu betrachten, von allem Unterschiede zwischen den 
Dingen, aus denen sie bestehen, ab: so müssen wir, indem 
wir irgendein beliebiges Ding in der Menge A durch i, 
irgendein anderes durch 2 bezeichnen usw. dergestalt, daß 
wir jedem folgenden immer die Zahl der Dinge, die wir 
bisher betrachtet haben (dasselbe mit dazu genommen), zu 
seiner Bezeichnung erteilen, irgend einmal bei einem Dinge 
in A anlangen, nach dessen Bezeichnung keines mehr übrig 
ist, welches noch unbezeichnet wäre. Dies unmittelbar zu 
folge des Begriffes einer endlichen oder zählbaren Vielheit. 
Erhielt nun dieses soeben besprochene Letzte in A die 
Zahl n zu seiner Bezeichnung: so ist die Anzahl der Dinge 
in A — n. Weil nun zu jedem der Dinge in A eines in B 
zu finden sein soll, das sich mit ihm in ein Paar vereinigen 
läßt: so muß, wenn wir ein jedes der Dinge aus B mit 
eben dem Zeichen bezeichnen, welches dasjenige aus A an 
sich hat, mit dem es zu einem Paare vereinigt wird, sich 
finden, daß es der Dinge in B, die wir auf solche Weise 
verbraucht haben, gleichfalls n gibt; indem ein jedes der 
selben ein Zeichen erhielt, das zu erkennen gibt, wie viele 
wir bisher verbraucht. Somit erhellt, daß es der Dinge in 
B sicher nicht weniger gibt als n\ denn diese Zahl führt 
eines (dasjenige, was wir zuletzt gebrauchten) wirklich. 
Aber es gibt derselben auch nicht mehr; denn gäbe es nur 
noch ein einziges über die bisher verbrauchten, so gäbe 
es zu diesem keines in A, mit dem es zu einem Paare 
könnte vereinigt werden; was der Voraussetzung wider 
spricht. Demnach ist die Zahl der Dinge in B weder 
kleiner noch größer als n, also = n. Beide Mengen haben 
somit eine und dieselbe, oder wie man auch sprechen kann, 
die gleiche Vielheit. Dieser Schlußsatz fällt offenbar weg, 
sobald die Menge der Dinge in A eine unendliche ist; 
denn nun gelangen nicht nur wir Zählenden nie an ein 
Letztes in A, sondern es gibt, kraft der Erklärung einer 
unendlichen Menge, an und für sich kein solches letztes