Falsche Rechnungen mit Unendlichem. 53 
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nämliche Menge der Glieder hat. Daß auch dieser Größen 
ausdruck gegenstandslos sei, erhellt auf ähnliche Art, wie 
bei dem früher betrachteten, weil er zu widersprechenden 
Ergebnissen führt. Denn einerseits müßte sein: 
i — 2 —|— 4 — 8 —|— 16 — 32 —j - 64 —«- ... 
= 1 -f- (— 2 ~r 4) -j- (— 8 -f- 16) (— 32 -f- 64) -f- ... 
= 1 -(- 2 4- 8 -j- 32 -}- 64 -(- ... 
andererseits ebenso gewiß: 
= 0 — 2 ) ~f (4 — 8) -f (16 — 32) -f (64 — 128) -f ... 
= — i — 4 — 16 — 64 — ... 
so daß sich also durch einen doppelten berechtigten Vor 
gang einmal ein unendlich großer positiver, das andere Mal 
ein unendlich großer negativer Wert desselben Ausdruckes 
ergäbe. 
§ 33- 
Wollen wir also in unseren Rechnungen mit dem Un 
endlichen nicht auf Irrwege geraten: so dürfen wir nie uns 
erlauben, zwei unendlich große Größen, die aus Summie 
rung der Glieder zweier unendlicher Reihen entstanden 
sind, schon darum für gleich, oder die eine für größer 
oder kleiner als die andere zu erklären, weil je ein Glied 
in der einen je einem in der anderen Reihe entweder gleich 
oder größer oder kleiner als das der letzteren ist. Wir 
dürfen ebensowenig die eine Summe für die größere er 
klären, bloß weil sie die sämtlichen Glieder der anderen 
und nebstdem noch gar viele, sogar unendlich viele Glieder 
(die alle positiv sind) in sich schließt, welche der anderen 
fehlen. Denn auch bei alledem kann sie noch kleiner, ja 
unendlichemal kleiner sein als diese. Ein Beispiel liefert 
uns die sehr bekannte Summe der Quadrate aller natür 
lichen Zahlen, verglichen mit der Summe der ersten Po 
tenzen dieser Zahlen. Gewiß kann niemand in Abrede 
stellen, daß jedes Glied der Reihe aller Quadrate