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Falsche Rechnungen mit Unendlichem. 
i»+a* + 3* + 4 * + 5 » + 6 »+ 7 * + 8* + 9 *+ IO * 
in inf. = I 2 
S 
1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 ~f 100 
in inf. = I 
weil es ja gleichfalls eine natürliche Zahl ist, auch in der 
Reihe aller ersten Potenzen der natürlichen Zahlen 
I + 2 + 3~i-4 + 5 + 6 +7+8 + 9+ IO + II + 12 
i I 3T I 4+ I 5+ l6 --- in inf - = S 
I 
erscheine; ingleichen daß in der letzteren Reihe S nebst 
2 
allen Gliedern der S noch gar viele (ja unendlich viele) 
2 
Glieder erscheinen, die in der Reihe S fehlen, weil sie nicht 
2 
eben Quadratzahlen sind. Gleichwohl ist S, die Summe 
aller Quadratzahlen, nicht etwa kleiner, sondern unstreitig 
I 
größer als S, die Summe der ersten Potenzen aller Zahlen. 
Denn erstlich ist, trotz allem Anscheine des Gegenteils, die 
Gliedermenge in beiden (noch nicht als Summe betrach 
teten und somit nicht in beliebige Mengen von Teilen zer 
legbaren) Reihen gewiß dieselbe. Dadurch, daß wir jedes 
I 2 
einzelne Glied der Reihe S in der S auf das Quadrat er 
heben, ändern wir bloß die Beschaffenheit (die Größe) dieser 
Glieder, nicht ihre Vielheit. Ist aber die Menge der Glieder 
12 2 
in S und S dieselbe: so liegt am Tage, daß S viel größer 
I 
als S sein müsse, indem, mit Ausnahme des ersten Gliedes, 
2 
jedes der übrigen in S entschieden größer als das gleich- 
I 2 
vielste in S ist; so zwar, daß S als Größe betrachtet das 
I 
ganze S als einen Teil in sich faßt, und noch einen zweiten 
Teil hat, der für sich selbst abermals eine unendliche Reihe 
I 
von gleicher Gliederzahl mit S darbietet, nämlich: 
o, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56 .. . n (n — 1) ... in inf.,