Die „Mathematischen Fiktionen“ in der „Phil, des Als-Ob“ 
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Wäre diese Auffassung Yaihingers hinsichtlich der ima 
ginären Zahlen richtig, dann wäre allerdings schon aus diesem 
Grund ein sehr großer Teil der modernen Mathematik auf 
fiktiver Grundlage errichtet, denn die komplexen Zahlen 
durchsetzen nicht nur die ganze moderne Analysis, vor allem 
die Funktionentheorie, und erscheinen in der Algebra ge 
radezu unentbehrlich, sondern sie spielen auch in der neueren 
Geometrie eine bedeutende Rolle. Aber gerade das behauptet 
ja Vaihinger, daß die Mathematik weithin mit Fiktionen 
arbeite; wollen wir seine Auffassung widerlegen, so müssen 
wir zeigen, daß sich die komplexen Zahlen widerspruchsfrei 
begründen lassen. Während diese Aufgabe den späteren 
Kapiteln zugewiesen wird, sei hier vor allem nochmals be 
merkt, daß Vaihinger bei den imaginären Zahlen immer das 
Moment betont: Übertragung auf einen Fall, wo die Opera 
tion unberechtigt ist, wo sie sinnlos, widerspruchsvoll, logisch 
falsch ist, dagegen hinsichtlich der Fiktivität der Zahl das 
Merkmal nicht -wirklich, daher subjektiv, imaginativ. 
Schon im vorausgehenden zeigte sich bei Vaihinger eine 
starke Betonung des Widerspruchsvollen, besonders bei den 
irrationalen und imaginären Zahlen, als Merkmal dieser 
mathematischen Fiktionen. Dies überwiegt vollends ganz bei 
der Gruppe von mathematischen Fiktionen, bei der das Un 
endliche in Frage kommt. Dazu kommt noch als methodologi 
sches Prinzip die Korrektur durch entgegengesetzte Fehler. 
Schon an gewissen Elementarmethoden will Vaihinger die 
Anwendung dieses Prinzips aufweisen. So sagt er bei der Auf 
lösung der kubischen Gleichung 
x 3 -f px + q = 0, 
man betrachte nach Cardanus die Wurzel x dieser Gleichung 
als aus zwei Teilen y und z bestehend, setze also x = y -j- z, 
um dann aus zwei abgeleiteten Gleichungen die Werte von 
y und z zu bestimmen, die man wieder addiere. Es handle sich 
also um zwei fiktive Denkprozesse: 
1. „Die logische Funktion zerlegt das gegebene Wirkliche,