Die „Mathematischen Fiktionen“ in der „Phil, des Als-Ob“
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Die „Fiktion des Unendlich-Kleinen“ nimmt in
den Erörterungen Yaihingers über mathematische Fiktionen
eine zentrale Stellung ein, zugleich ist es aber auch das ver-
wickeltste Problem, da bei den diesbezüglichen Ausführungen
mehrere wesentlich verschiedene Gedankengänge ineinander
greifen; wir müssen daher diesem Begriff ganz besondere Be
achtung schenken.
Eine erste Anwendung des Unendlich-Kleinen findet Vai-
hinger bei den sog. N u 11 f ä 11 e n. Er meint, eine fundamen
tale Eigentümlichkeit der mathematischen Gebilde, in letzter
Linie etwas durchaus definitiv Gegebenes, sei ihre Einteilung
in Gattungen und Arten; so teile sich die Gattung Kegel
schnitte in die Arten: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel. Es
seien ganz bestimmte und genau definierbare Modifikationen
der allgemeinen Form des Begriffs, welche aus der Gattung
einzelne Arten machen, und man könne von der einen Art zur
andern nur durch einen begrifflichen Sprung gelangen. Die
Definition der Ellipse z. B. verlange, daß sie zwei Brennpunkte
F und F' besitze, die die Entfernung 2e = m haben, und es
entstehe eine durchaus anders geartete Gestalt, wenn diese
Entfernung wegfalle; somit gebe es keinen stetigen Übergang
von der Ellipse zum Kreis. Der Fortschritt von der Ellipse
zum Kreis sei schlechterdings diskontinuierlich. „Es ist eine
Kluft da, über welche keine Brücke führt“, sagt Vaihingen
Nun könne man aber doch von der Ellipse ausgehend das m
immer mehr verkleinern und sich so dem Kreis Schritt für
Schritt nähern. Vaihinger schreibt: „Diese Teilung kann ich
ins Unendliche fortsetzen; wie, wenn ich es nun wagte, mir
vorzustellen, d. h. die Fiktion machte, diese ins Unendliche
fortschreitende Teilung — sei vollendet? Freilich begehe ich
damit einen recht krassen, logischen Widerspruch, aber ich
erhalte doch auch dadurch einen Vorteil. Wäre nämlich —
was ich freilich nur imaginativ, fiktiv setzen kann —
jene unendliche Teilung vollendet, so wäre der letzte Teil nicht
mehr endlich, sondern eben — unendlich klein. Wenn nun
dadurch jene Distanz m unendlich gering würde, so würden ja
