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F i k t i
o n e n
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Mathematik
die Gleichung richtig, denn der gemachte Fehler sei durch jene
Verkleinerung selbst unendlich klein gemacht worden. Hier
klingt also wieder ein bereits erwähnter Gedanke an, der sonst
unter anderen Argumenten verhüllt ist; so betont er an anderer
Stelle 200 ): „Das richtige Resultat wird erreicht durch die
Methode der entgegengesetzten Fehler.“ Die Auflösung des
Geheimnisses bestehe darin, daß dx und dy das eine Mal = 0,
das andere Mal = real, wenn auch sehr klein, betrachtet wer
den. Lotze gegenüber vertritt Vaihinger die absolute, nicht
bloß approximative Gültigkeit der Fluxionsrechnung, weil der
Fehler nicht bloß „stetig verkleinert“, sondern ganz korrigiert
werde. Man müsse die Motive des mathematischen Kalküls
von der Interpretation desselben durch diskursive Begriffe
unterscheiden. Mathematisch sei die Fiktion von dx, dy und ds
ein einfacher Kunstgriff und diese Glieder dx usw. fielen
schließlich einfach heraus durch den entgegengesetzten Fehler,
durch die quaternio: „denn anfangs werden sie gleich real,
zuletzt gleich 0 genommen.“
Logisch und diskursiv ausgedrückt, meint Vaihinger,
nehmen wir den Begriff „Unendlichklein“ zu Hilfe, der im
mathematischen Kalkül bloß als Symbol behandelt werde
und in der Differentialrechnung selbst gar nicht notwendig
sei; man brauche ihn nicht aus ihr zu entfernen, denn, richtig
verstanden, sei er nicht da. Das Ganze beruhe auf einem
mathematischen Kunstgriff, aber die diskursive Interpretation
suche die mathematische Berechnung durch diesen Schein
begriff zu rechtfertigen. Der Mathematiker brauche diese
Rechtfertigung nicht, er könne die Infinitesimalmethode ganz
ohne Einmischung des Unendlichkeitsbegriffs betrachten;
wie e einfach ein Symbol sei — 0, das dann aber zuerst = real,
dann = 0 genommen werde, so seien ds, dx, dy zuerst — real,
sehr klein (nicht unendlich klein) und nachher =0 zu
setzen; durch diesen einfachen kunstreichen Mechanismus
werde das Resultat erreicht. Den Widerspruch würden wir
aber dadurch nicht los, denn man rechne mit 0 gleich einer
Zahl, oder setze zuerst e und ds = sehr klein, dann = 0; das