Die Grundbegriffe der Geometrie
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mathematischen Beweisen nicht vermöge ihrer sprachlichen
Bedeutung, sondern vermöge der Festsetzungen, die über sie
getroffen werden. Solche Festsetzungen sind zunächst die
Axiome. Durch diese werden Beziehungen ausgesprochen, die
zwischen den einfachsten mathematischen Begriffen, den
Grundbegriffen, bestehen. Im weiteren Verlauf werden zahl
reiche neue Begriffe eingeführt, Begriffe von zusammen
gesetzter Art. Jeder zusammengesetzte Begriff muß definiert
werden, d. h. über seine mathematische Bedeutung muß eine
genau umgrenzte Festsetzung getroffen werden. Und nur auf
diese Festsetzung, auf die Definition des Begriffs, darf man
bei seiner Anwendung sich berufen; jede Hineinmischung son
stiger Vorstellungen ist unzulässig“ 301 ).
Pasch stellt also deutlich zwei Arten von Begriffen fest:
Grundbegriffe (bzw. später Kernbegriffe) und abgeleitete Be
griffe. Die abgeleiteten Begriffe werden definiert, die Grund
begriffe nicht. „Keine Erklärung ist imstande, dasjenige Mittel
zu ersetzen, welches allein das Verständnis jener einfachen,
auf andere nicht zurückführbaren Begriffe erschließt, nämlich
den Hinweis auf geeignete Naturobjekte“ 302 ). Bei der Defini
tion der abgeleiteten Begriffe unterscheidet Pasch zwischen
expliziter und impliziter Definition 303 ).
Ein Ding durch explizite Definition einführen heißt, es ein
führen als „ein Ding, das einer vorher eingeführten Gattung
angehört und sich innerhalb der Gattung durch gewisse Merk
male auszeichnet“ 304 ). Bei der impliziten Definition dagegen
wird angegeben, in welchen Aussagen das Ding verkommen
soll, und was solche Aussagen bedeuten sollen. So sagt Pasch:
Eine Definition, wie hier die eines Eigennamens M, will mir
nur die Berechtigung schaffen, mich so auszudrücken, als
wäre M Eigenname eines Dinges, sagt mir aber
sonst nichts über ein „Ding M“. An anderer Stelle zeigt er, wie
man die implizite Definition, überhaupt jede mathematische
Definition, durch Lehrsätze mit der Wirkung ersetzen kann,
daß bei Beweisen auf die Definitionen nicht zurückgegriffen
zu werden braucht. Durch eine solche Umsetzung der Defini
