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Die Grundbegriffe der Geometrie 
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1. Um rasch gebrauchsfertige Ergebnisse zu praktischen 
Anwendungen zu gewinnen, will er auf ein Darstellen aller 
Beweisschritte verzichten; er spricht von derber Mathe 
matik im Gegensatz zu der heiklenMathematik,in der es 
sich um Fragen der Denkwissenschaft selbst handle, und in der 
er unbedingte Vollständigkeit der Gedankengänge verlangt 10 ). 
2. In „Mathematik und Logik“ schreibt er 311 ): „Auch heut 
wird man nur für die Aufsuchung neuer Wahrheiten volle 
Freiheit in Anspruch nehmen, nicht für die Prüfung und Dar 
stellung des Gefundenen.“ Also der Forschung will Pasch 
wenigstens Freiheit in ihren Gedankengängen eingeräumt 
wissen. Er meint wohl in erster Linie hinsichtlich der lücken 
losen Schlußfolgerung. Daß aber nicht nur das gemeint sein 
kann, geht aus folgendem Satz hervor: „Vorstellungen, 
über die gleichsam ein Schleier gebreitet ist, 
heben nicht bloß den Reiz und die Wirksamkeit 
der Darstellung, sie leisten sogar dem For 
scher bei seinem tastenden Suchen oft vor 
treffliche Dienste“ 312 ). 
An einer andern Stelle 313 ) unterscheidet Pasch die bloß er 
läuternden Bestandteile, die an die Spitze zu stellen seien und 
in denen Bewegungsfreiheit herrschen könne (biegsame 
Mathematik), von den wesentlichen Bestandteilen, bei 
denen „Gebundenheit der Schritte ohne Ausnahme, nämlich 
Gebundenheit durch die unerbittlichen Vorschriften der deduk 
tiven Logik“ verlangt wird (starre Mathematik). 
Handelte es sich in den bisherigen Darlegungen hauptsäch 
lich um die Frage, wie sich im Aufbau der Mathematik 
Widersprüche vermeiden lassen, so müssen wir uns jetzt noch 
den alogischen Elementen zuwenden, die in den Fun 
damenten, im Kern selbst stecken. 
Pasch hat sich wiederholt mit der Frage befaßt, wie man die 
Widerspruchslosigkeit eines Kerns nachweisen kann; das Pro 
blem wurde auch hier schon berührt. 
M. Pasch glaubt, daß bei einem System von Sätzen, einem 
Kern, oder irgendeinem Stamm Widersprüche erster Stufe