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Die Grundbegriffe der Geometrie
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einen Fortschritt der Wissenschaft zum Bewußtsein bringt,
sind die Ausdrücke wohl zu unterscheiden, die durch un
gesunde Einflüsse in die Mathematik hineingetragen, einen
Rückschritt darstellen, der seiner Überwindung große Zähig
keit entgegensetzt. Ich nenne nur Begriffe wie Raum und
Dimension“ usw.
Jetzt ist der erste Satz in der oben zitierten Stelle klar:
Pasch wendet sich gegen die Begriffe Raum und Dimen
sion, da er sie in der Geometrie überhaupt für überflüssig
hält 317 ). Ob er darin recht hat, ist eine andere Frage; es gibt
ebenso namhafte Autoritäten, die dies bestreiten 318 ). Aber das
kann man zugeben: Vom Standpunkt des reinen Mathemati
kers aus kann auf die Begriffe Raum und Dimension ver
zichtet werden, wenn man sie nicht als bequeme Namen in
der Mannigfaltigkeitslehre doch beibehalten will.
In dem zweiten Satz der von Vaihinger zitierten Stelle, wo
es heißt, daß sich Gerade nicht schneiden und dann doch
wieder schneiden sollen, handelt es sich in beiden Fällen ganz
einfach um verschiedene Voraussetzungen; vom Standpunkt
der projektiven Geometrie aus haben zwei Gerade stets einen
Schnittpunkt; in andern geometrischen Systemen nicht not
wendig; vollends nicht in der elementaren empiristischen Geo
metrie, die Pasch zunächst entwickelt. Mit der Frage der
irrationalen und imaginären Zahlen werden wir uns später
noch zu beschäftigen haben; die Polemik von Pasch an dieser
Stelle ist nicht recht verständlich, wenn man danebenhält,
daß er sich selbst verschiedentlich mit einer Einführung und
strengen Begründung derselben befaßt hat.
Wie einseitig H. Vaihinger diese Polemik aufgefaßt hat,
dürfte folgender Satz seines Artikels zeigen: „Zu diesen
(Grundbegriffen) gehören natürlich auch in erster Linie jene
,eingebildeten' und ,absurd klingenden' Begriffe voll Wider
spruch, irrationale und imaginäre Zahlen, n-Dimensionen
des Raumes“ usw.
Zunächst ist zu sagen, daß von Grundbegriffen im Sinne
von Pasch hier nirgends die Rede sein kann, sondern meist um
