Fiktionen in der Mathematik
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abgeleitete, etwa durch implizite Definitionen eingeführte
Begriffe. Sodann ist der Zusatz „voll Widerspruch“ nirgends
bei Pasch zu finden, vielmehr betont er selbst immer bei seinen
Begriffserweiterungen und Übertragungen, daß sie logisch
widerspruchsfrei sein müssen.
Das zwingt uns, der Frage nochmals Aufmerksamkeit zu
schenken, wie M. Pasch diese erweiterten Begriffe einführt.
Daß seine Kernbegriffe widerspruchsfrei sein müssen ist
selbstverständlich, geht aber auch schon daraus hervor, daß
sie ja bei seiner empiristischen Einstellung direkt einem
empirischen Wirklichen entsprechen sollen. Bei den abge
leiteten Begriffen handelt es sich entweder um explizite oder
um implizite Definitionen. Hier haben wir uns speziell mit der
impliziten Definition 319 ) zu befassen, weil nach dem Wortlaut
bei M. Pasch gesagt werden könnte, es müsse sich um Fik
tionen handeln 320 ). In „Veränderliche und Funktion“ sagt
M. Pasch: „Wir bleiben bei der negativen Zahl oder dem un
eigentlichen Punkt auf implizite Definitionen angewiesen“ 321 ).
Aber in demselben Paragraphen betont er, daß implizite
Definitionen nicht zu falschen oder bedeutungslosen Folge
rungen führen, sie müssen sich ja durch Lehrsätze ersetzen
lassen. Implizite Definitionen seien zulässig und zur Ver
meidung von Weitschweifigkeiten erforderlich, wenn auch im
letzten Grund nicht unbedingt notwendig, sie könnten, wie
Kronecker es für den Zahlbegriff wünschte, wieder abgestreift
werden. Eine implizite Definition sei aber nur am Platze, wenn
das ihr entsprechende Ding sich unter den vorher möglichen
Dingen nicht befinde, d. h. eben, wenn es nicht explizit defi
niert werden könne. „Bei den impliziten Definitionen handelt
es sich zunächst nur um Begriffe, die in die Mathematik Ein
gang gefunden haben, ohne daß sie von vornherein auf eine
Art, die dauernd befriedigen konnte, definiert wurden. Für
einen solchen Begriff muß man, sofern er nicht als Grund
begriff anzuerkennen ist, die Sätze aufsuchen, mittelst deren
er zur Verwendung gelangt, die mithin den »Ersatz für die
Definition* liefern. Diese Untersuchung kann dazu führen,