Die Grundbegriffe der Geometrie
B etsch.
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können; er spricht geradezu von dem Königsweg der Analisis
beim Aufbau der Geometrie. Die Frage der Anwendbarkeit
einer solchen Geometrie auf die Körper ist dann eine weitere,
von dem rein mathematischen Aufbau streng zu trennende
Frage.
Im nächsten Kapitel werden wir noch Gelegenheit nehmen,
die verschiedenen geometrischen Systeme unter einem ein
heitlichen Gesichtspunkt zu betrachten und für sie selbst die
Frage zu stellen, ob und bei welchen Geometrien es sich um
Fiktionen handeln könnte.
Hier haben wir nur noch das Ergebnis der Untersuchung
dieses Kapitels kurz zusammenzufassen, wobei wir zwei
wesentliche Punkte unterscheiden:
1. Aus den Darlegungen geht hervor, daß die Grundvoraus
setzungen der Geometrie, Grundbegriffe und Axiome, wider
spruchsfrei sein müssen, wenn der ganze Aufbau haltbar sein
soll. Zu dieser Einsicht wurden wir geführt, mochten wir die
Frage vom empiristischen, konventionalistischen oder ideali
stischen Standpunkt aus in Angriff nehmen; von einer Methode
entgegengesetzter Fehler konnte erst recht nicht die Rede sein.
2. Fragen wir aber nach der Existenz dieser Grundgebilde,
so gehen die Meinungen sehr stark auseinander.
a) Der radikale Empirist, der keine andere als die empi
rische Wirklichkeit anerkennt, betrachtet die Grundgebilde
Punkt, Linie, Fläche, sowie die mathematischen Gebilde wie
Kreis, Kugel, Würfel usw. als unwirkliche Dinge und die in
den Axiomen ausgesprochenen Relationen als nirgends streng
erfüllt. Wenn er von Fiktionen redet, so handelt es sich um die
Typen Ai und Ci. Betont er noch, man spreche so, als ob es
sich um wirkliche Dinge handle, obwohl man wisse, daß solche
Dinge nirgends existieren, so könnte darin das Moment des
Widerspruchs wieder gefunden werden. Das ist aber offenbar
ein Trugschluß, denn dieser Widerspruch liegt in seiner Be
wußtseinshaltung, nicht in den Dingen selbst.
b) Auch vom realistischen Standpunkt aus, wie er etwa von
M. Schlick und von B. Russell vertreten wird, kann man in
