197 
III. 
Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
unter dem Gesichtspunkt der Transformationsgruppe. 
Die Schlußbemerkungen des zweiten Kapitels geben uns 
Veranlassung zur Aufrollung eines Problems, auf das wir 
früher schon stießen. 
Außer der Euklidischen Geometrie wurden im Zusammen 
hang mit den kritischen Untersuchungen der Geometrie ver 
schiedene geometrische Systeme aufgestellt, die man gewöhn 
lich unter der Bezeichnung „Nichteuklidische Geometrie“ zu 
sammenfaßt. Die Bezeichnung „Metageometrie“, die man bis 
weilen in philosophischen Abhandlungen findet, ist in der 
Mathematik selbst nicht gebräuchlich und, wie die nach 
folgenden Darlegungen zeigen sollen, auch nicht berechtigt. 
Historisch nahmen diese Systeme ihren Ausgangspunkt in 
den Untersuchungen über die Stellung des Parallelenaxioms 
im System der Euklidischen Geometrie 360 ). Die hiebei befolgte 
Methode wurde in neuerer Zeit besonders von D. Hilbert in 
mustergültiger Weise angewandt, um die logische Unab 
hängigkeit nicht nur des Parallelenaxioms, sondern auch 
anderer Axiome und Axiomgruppen zu beweisen und aufzu 
zeigen, von welchen Axiomen gewisse Gruppen von Lehr 
sätzen abhängig sind. 
Man kann aber auch absehen von der Frage nach den Ab 
hängigkeitsverhältnissen der von Euklid zum Aufbau seiner 
Geometrie aufgestellten Axiome und dadurch zu neuen geo 
metrischen Systemen kommen, daß man prüft, welche Vor 
aussetzungen mindestens gemacht werden müssen, um auf 
ihnen unter alleiniger Benützung logischer und evtl, arith 
metischer Grundsätze eine Geometrie aufzubauen. Die Unter 
suchungen von Riemann und Helmholtz haben gezeigt, daß 
die Grundannahmen der Geometrie verschieden gewählt wer 
den können und es fragt sich nun, ob eines der so erhaltenen