Fiktionen in der Mathematik 
Systeme vor den andern auszuzeichnen ist, oder ob sie alle als 
gleichwertig zu behandeln sind. 
Für die Vergleichung der verschiedenen geometrischen 
Systeme werden in neuerer Zeit hauptsächlich zwei Gesichts 
punkte herangezogen, der topologische und der metri 
sche. Man fragt also, ob die betreffende Raummannigfaltig 
keit offen oder geschlossen ist und welche Zusammenhangs 
verhältnisse sie aufweist, daneben, welches Krümmungsmaß 
ihr zukommt. So ist dann die euklidische Raumform als offen, 
vom Typus der Ebene und durch das Krümmungsmaß 0 
charakterisiert. 
Hier ziehen wir zum Vergleich der verschiedenen geometri 
schen Systeme das Klassifikationsprinzip von F. Klein heran. 
Nach diesem sind die verschiedenen Geometrien durch die 
ihnen zugrunde liegenden Transformationsgruppen charak 
terisiert. 
Der Begriff Geometrie läßt sich nach F. Klein auf zwei ver 
schiedene Arten festlegen; 
1. Untersuchungen über beliebig ausgedehnte Mannigfaltig 
keiten; das räumliche Bild ist für sie unwesentlich; Anschau 
ung bedeutet nur Veranschaulichung des rein mathematischen 
Inhalts der durchgeführten Betrachtungen. 
2. Geometrie, die bezweckt, räumliche Figuren nach ihrer 
vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und die für sie 
geltenden Beziehungen als evidente Folgen der Grundsätze 
räumlicher Anschauung zu verstehen. Das Modell ist hier 
nicht Mittel zum Zweck, sondern die Sache selbst. 
Es ist klar, daß es sich bei der zweiten Art von Geometrie 
um angewandte Mathematik handelt, um etwas, was Pasch 
den Naturwissenschaften zurechnen will. Wenn wir aber von 
Klassifikation geometrischer Systeme reden, kann es sich nur 
um Geometrie im ersten Sinn handeln, also um eine Disziplin 
der reinen Mathematik, 
Zunächst haben wir einige Grundbegriffe klarzustellen: 
Wenn n Veränderliche x±, x 2 ,... x n gegeben sind, so kon 
stituieren die oo n Wertsysteme, die man erhält, wenn man 
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