Vergleich verschiedener geometrischer Systeme
die x unabhängig voneinander die reellen Werte von — oo
bis + co durchlaufen läßt, eine Mannigfaltigkeitvon
n Dimensionen. Das einzelne Wertsystem (x±, x 2 , ...x n )
nennt man ein Element der Mannigfaltigkeit. Man
kann ein solches Element als Punkt in einem Raum von
n Dimensionen deuten (Graßmann), aber diese Vorstellung ist
nicht notwendig, die Xi, x 2 ,... x n können ebensogut als P a r a -
meter eines Gebildes des gewöhnlichen Rau
mes aufgefaßt werden (Plücker), dann erscheint dieser als
Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen.
Unterwirft man die Mannigfaltigkeit einer Reihe von räum
lichen Änderungen (Transformationen), die die Eigenschaft
haben, daß jede Änderung, die durch Zusammensetzung be
liebig vieler Transformationen der Reihe entsteht, immer
wieder eine Transformation der betreffenden Reihe ergibt und
daß zu jeder Transformation die inverse Transformation in
der Reihe enthalten ist, so bezeichnet man die Reihe von
Transformationen als eine Gruppe.
Als die einfachsten Beispiele solcher Transformations
gruppen seien angeführt:
1. Die Drehungen um den Anfangspunkt
x, = ax + by + cz
y, = a' X + b' y + c' z (1)
Zj = a" x + b" y + c" z
2. Die Parallelverschiebungen
x t — x + A; y t = y + B; z, = z 4- C (2)
3. Die Ähnlichkeitstransformationen
X, = X x; y, == X y; Z 1 — A z (3)
4. Die Inversion
x i = — x; y t = — y; Zj = — z (4)
In der Elementargeometrie versteht man unter geometri
schen Eigenschaften eines räumlichen Gebildes solche
Beziehungen, die von der Lage, der absoluten Größe und vom
Riehtungssinn, in dem die Teile des Gebildes angeordnet sind,
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