Vergleich verschiedener geometrischer Systeme
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Größen beruht dann darauf, daß man zusieht, wie sich die
Koordinaten bei den Operationen (1),... (4) verhalten. Man
wird alle diejenigen und nur diejenigen geometrischen Größen
als gleichartig ansehen, deren Koordinaten bei den Operationen
der Hauptgruppe die gleichen Änderungen erleiden 381 ).
Dieses Prinzip läßt sich allgemein formulieren: Sind in
einem Baume von n Dimensionen m Punkte pi, p 2 ,.. .p m durch
ihre Koordinaten in bezug auf ein beliebiges Koordinaten
system gegeben, so kann man durch q Funktionen ri, r 2 ,... r q
dieser Koordinaten ein Gebilde r darstellen. Unterwirft man
jetzt das Koordinatensystem den Transformationen einer ge
wissen Gruppe, so erhält man neue Bestimmungszahlen r'..
Lassen sich diese r'j rein als Funktionen der r ; und der
Transformationsparameter darstellen, so sagt man, sie trans
formieren sich in sich und nennt r eine geometrische
Größe. Man kann also von geometrischen Größen nicht reden
ohne Angabe einer zugehörigen Transformationsgruppe.
Die Transformationsart (Orientierungsweise) der
Bestimmungszahlen bei den verschiedenen Gruppen
ist das Wesentliche einer Größe, die geometrische Deu
tung Nebensache. Zwei Größen, die bei einer bestimmten
Gruppe dieselbe Orientierungsweise haben, heißen gleich
artig in bezug auf diese Gruppe. Sind außerdem die Be
stimmungszahlen proportional bei einer Untergruppe der
linearen homogenen Gruppe, so sind die Größen bis auf einen
Zahlenfaktor in bezug auf diese Gruppe gleich; also auch
Gleichheit und Ungleichheit geometrischer Größen hängen von
der Gruppe ab 362 ).
Zu bestimmten Klassen von Größen gehören höhere kom
plexe Zahlensysteme, die sich bei gegebener Gruppe in ein
deutiger Weise bestimmen lassen; sie bilden direkte Analysen,
die ermöglichen, mit den Größen selbst, ohne Verwendung
eines Bezugssystems, zu rechnen 363 ).
So wie für die geometrische Größe, so ist auch für die
Charakterisierung jedes geometrischen Systems
die Gruppe, die man zugrunde legt, maßgebend. Dadurch
