Fiktionen in der Mathematik 
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treten aus der Fülle geometrischer Systeme gewisse, immer 
wiederkehrende Behandlungsweisen hervor, unabhängig von 
der Wahl und Deutung des Elements im einzelnen Fall. 
JedeGeometrie istlnvariantentheorie einer 
gewissen Mannigfaltigkeit in bezug auf eine 
vorgelegte Transformationsgruppe. 
Um hienach die verschiedenen geometrischen Systeme mit 
einander vergleichen zu können, müssen noch einige allge 
meine Sätze herangezogen werden. 
Der Übergang von einer umfassenderen Gruppe 
zu einer Untergruppe bedeutet entweder Betrachtung 
der vorgelegten Mannigfaltigkeit in bezug auf ein ausgezeich 
netes Gebilde, z. B. in der sphärischen Geometrie eines be 
stimmten Punktes, oder Behandlung der Mannigfaltigkeit an 
sich, aber unter Zugrundelegung der Transformationen, die 
jenes Gebilde unverändert lassen. 
Beim Übergang von einer Gruppe zu einer 
umfassenderen Gruppe bleibt nur ein Teil der Eigen 
schaften erhalten, die andern erscheinen nicht mehr als Eigen 
schaften der Gebilde an sich, sondern als solche eines Systems, 
das man durch Zufügung eines ausgezeichneten Gebildes er 
hält; dieses würde, festgehalten, der Mannigfaltigkeit nur 
noch die Transformationen der vorher betrachteten Gruppe 
gestatten. 
Hat man nun eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrunde 
legung einer Gruppe B untersucht und führt dann A durch 
eine Transformation in die Mannigfaltigkeit A' über, so wird 
aus der Gruppe B, die A in sich transformiert, eine Gruppe B', 
die A' in sich transformiert. Beide Behandlungsweisen, A 
unter Zugrundelegung von B und A' in Verbindung mit B' 
sind dann im wesentlichen identisch. 
Auf Grund dieses Prinzips lassen sich manche scheinbar 
grundverschiedene geometrische Untersuchungen identifizieren 
oder doch auf Systeme zurückführen, deren gegenseitiges 
Verhältnis man kennt. So bedeutet die elementare Geo 
metrie der Ebene dasselbe wie die projektive Untersuchung