Vergleich verschiedener geometrischer Systeme
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einer Fläche zweiten Grades unter Hinzunahme eines ihrer
Punkte 364 ).
Besonders wertvoll wird dieses Prinzip, wenn man an Stelle
der gewöhnlichen Raumelemente (Punkte) beliebige andere,
Punktsysteme, Linien, Flächen usw., die von einer gewissen
Anzahl von Parametern abhängen, einführt. Man kann so der
zugrunde gelegten Mannigfaltigkeit eine beliebige Anzahl von
Dimensionen erteilen; aber es entsteht dadurch keine andere
Geometrie, wenn man die vorher benützte Gruppe beibehält.
Erst wenn man der Wahl des Raumelements entsprechend
auch eine andere geeignete Gruppe der Mannigfaltigkeit ad-
jungiert, wird die Geometrie eine wesentlich andere. Dies muß
vor allem bei Übertragungen (Abbildungen) berück
sichtigt werden. Man kann z. B. die Strahlengeometrie des
Raumes in die Ebene übertragen, indem man einem Strahl
einen Kegelschnitt zuordnet, der ja ebenfalls von sechs Kon
stanten abhängt, die einer quadratischen Gleichung genügen.
Aber die Abbildung wird erst wirklich eine solche, wenn man
nicht die Hauptgruppe oder die projektive Gruppe der Ebene
adjungiert, sondern die Gruppe aller linearen Transforma
tionen der sechs Parameter des Kegelschnittes, die eine homo
gene quadratische Gleichung dieser sechs Größen in sich über
führt.
Es sollen nun die gebräuchlichen geometrischen Be
handlungsweisen ihren Transformationsgruppen ent
sprechend zueinander in Beziehung gesetzt werden.
Die Elementargeometrie und die ihr zugeordnete
Hauptgruppe wurden bereits berührt.
Das nächste umfassendere System ist die projektive
Geometrie. Sie setzt voraus, daß man eine ursprüngliche
Figur und alle aus ihr projektivisch ableitbaren als wesentlich
identisch betrachtet und die beimProjizieren übertragenenEigen-
schaften so formuliert, daß ihre Unabhängigkeit von den beim
Projizieren auf tretenden Änderungen in die Erscheinung tritt.
Damit ist der Geometrie die projektivische Gruppe zugrunde
gelegt. Diese Geometrie kann noch dadurch erweitert werden,