Fiktionen in der Mathematik 
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daß man einerseits die dualistischen Umformungen, 
andererseits imaginäre Elemente und Transforma 
tionen mit in den Kreis der Betrachtungen zieht. Erst durch 
letztere Erweiterung ist der genaue Anschluß der Raumlehre 
an das Gebiet der algebraischen Operationen ermöglicht 365 ). 
Der Grund für letztere Erweiterung liegt eben in der Be 
trachtung algebraischer Operationen, nicht in der Gruppe der 
projektiven und dualistischen Transformationen, denn diese 
Gruppe besteht auch unabhängig von imaginären Elementen 
und andererseits kann man solche einführen, ohne auf pro 
jektivem Standpunkt zu stehen. 
Während es nun anfänglich schien, als wären metrische 
Beziehungen der projektivischen Behandlungsweise nicht 
zugänglich, lehrten die Arbeiten von C a y 1 e y 368 ) und 
Beltrami 367 ), daß auch auf projektivischem Standpunkt 
eine Metrik möglich ist. Die metrischen Eigenschaf - 
t e n erscheinen nur nicht mehr als Eigenschaften der räum 
lichen Dinge an sich, sondern als Beziehungen der 
selben zu einem Fundamentalgebilde. 
Man kann nämlich auf der Geraden eine projektivi- 
sche Maßbestimmung, ausgehend von zwei (reellen 
oder imaginären) Fundamentalpunkten, so einführen, daß der 
Abstand irgend zweier Punkte als der mit einer willkürlichen, 
aber bestimmten Konstanten multiplizierte Logarithmus des 
Doppel Verhältnisses der vier Punkte erscheint 388 ). Entspre 
chend ist in der Ebene ein Kegelschnitt, im Raum eine Fläche 
zweiten Grads zugrunde zu legen. 
Schon Poncelet bemerkte, daß für eine allgemeine Auf 
fassung die Kreise der Ebene und die Kugeln des Raumes als 
Kegelschnitte bzw. Flächen zweiten Grades angesehen werden 
können, die mit dem oo Weiten ein bestimmtes, durch eine 
quadratische Gleichung gegebenes imaginäres Gebilde gemein 
haben. 
C a y 1 e y erkannte, daß damit ein Mittel gegeben sei, die 
Trennung der Geometrie in zwei fremde Disziplinen wieder 
rückgängig zu machen. Alle Maßbeziehungen geometrischer