Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
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Figuren können nämlich als projektivische Beziehungen auf 
gefaßt werden, sofern man den Figuren dieses imaginäre Ge 
bilde hinzufügt. 
Für die Ebene ist dieses Gebilde durch 
x 3 = 0; x, 2 + x 2 2 = 0 
bzw. u, 2 + u 2 2 = 0 
für den Raum durch 
x 4 = 0; x t 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0 
bzw. Uj 2 + u 2 2 + u 3 2 = 0 
festgelegt. Der Abstand r zweier Punkte ist dann eine In 
variante gegenüber Kollineationen; es ordnen sich daher die 
Sätze über Entfernungen in die projektive Geometrie ein. 
Cayley spricht immer von Kovarianten bei der Gesamtheit der 
Kollineationen, man kann sie aber auch als Invarianten gegen 
über einer Untergruppe der Kollineationen bezeichnen: Die 
metrischen Eigenschaften sind hinsichtlich der Gruppen der 
Bewegungen und Umlegungen (kongruente Transformationen) 
und der Ähnlichkeitstransformationen invariant. Daher kom 
men beide, die metrische und die projektive Geometrie, auf das 
Studium einer Invariantentheorie hinaus, und die Gruppe der 
metrischen Geometrie ist eine Untergruppe der zur projek 
tiven Geometrie gehörigen Gruppe. 
Cayley hat aber nicht nur die Frage nach den Beziehungen 
zwischen der projektiven und der metrischen Geometrie ent 
scheidend beantwortet, sondern zugleich ein neues Problem 
aufgeworfen: Was tritt ein, wenn man statt der speziellen 
Gleichung 
u t 2 -l-u 2 2 = 0 
die allgemeinere Gleichung 
2 2 a ik Ui u k = 0 
in sinngemäßer Weise zugrunde legt? Es ist das eine Kurve 
zweiter Klasse, die fünf besondere Typen umfaßt: 
A. Eigentliche Kegelschnitte: 
1. u, 2 + u 3 2 + u 3 2 = o imaginärer Kegelschnitt 
2. u, 2 -f- u 3 2 — u 3 2 = o reeller Kegelschnitt