Vergleich verschiedener geometrischer Systeme 
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rnetern; bei der speziellen Bedingung « 44 positiv ist dies genau 
die Lorentz-Gruppe der neuen Mechanik. Daß bei der neuen 
Mechanik die äquiformen Transformationen nur einen 
Parameter mehr haben als die kongruenten, hat seinen Grund 
darin, daß durch Vorgabe der Lichtgeschwindigkeit c Raum 
einheit und Zeiteinheit verknüpft sind, während in der alten 
Mechanik Zeiteinheit und Längeneinheit unabhängig gewählt 
werden können. 
So sind also alte Mechanik und neue Mechanik gleichmäßig 
in das Schema der projektiven Maßbestimmung bei vier 
Variablen x, y, z, t eingeordnet, und das, was der moderne 
Physiker „spezielleRelativitätstheorie“ heißt, ist 
die Invariantentheorie der Lorentz-Gruppe. 
Im Fall einer Mannigfaltigkeit von nDimensio- 
nen erscheint als einfachste Transformationsgruppe die 
Gruppe aller linearen Umformungen; die auf 
sie gegründete Behandlungsweise, deren sich vor allem die 
moderne Algebra bedient, kann man wieder als die pro- 
jektivische bezeichnen. So wie nun die projektive Gruppe 
der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit die gewöhnliche metri 
sche Geometrie als Untergruppe einschließt, so ist in der pro 
jektiven Gruppe der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine 
Gruppe von reellen linearen Transformationen enthalten, die 
ein Gebilde, das durch eine lineare und eine quadratische 
Gleichung vorgestellt wird, ungeändert lassen. Die Behand 
lungsweise auf Grund dieser Gruppe nennen wir die ge 
wöhnliche metrische, aber sie ist nicht die einzige 
von Bedeutung, die in der projektivischen enthalten ist. Wenn 
man nämlich der Mannigfaltigkeit ein bestimmtes, konstantes, 
nicht verschwindendes Krümmungsmaß beilegt, so wird ihr 
dadurch eine Gruppe zugeordnet, die sich auch bei der For 
derung freier Beweglichkeit starrer Körper ergibt 370 ). 
Der Wert des in diesem Fall notwendig konstanten Krüm 
mungsmaßes kann durch weitere Forderungen näher be 
stimmt und durch Einführung der Längeneinheit numerisch 
festgelegt werden.