Vergleich verschiedener geometrischer Systeme
In der Liniengeometrie 371 ) betrachtet man die gerade
Linie als Raumelement und definiert sie durch sechs homo
gene Koordinaten p ik , die an die Bedingung geknüpft sind:
^ " Pis P34 d - P13 P42 H - P14 P23 = d.
Betrachtet man die p ik als unabhängig veränderlich, so kon
stituieren sie einen Raum von fünf Dimensionen, Rb. Aus
diesem Raum wird die von den Geraden gebildete Mannig
faltigkeit von vier Dimensionen durch vorstehende quadra
tische Gleichung ausgeschieden. Man kann daher die Linien
geometrie in ähnlicher Weise analytisch behandeln wie die
Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades. Die linearen und
dualistischen Transformationen des Raumes erscheinen als
diejenigen linearen Transformationen der unabhängigen sechs
Veränderlichen, welche die Bedingungsgleichung in sich über
führen.
Die Gesamtheit der Geraden bildet eine M 4 2 im R 5 . Die Geo
metrie dieser M 4 steht zur metrischen Geometrie im R 4 im
selben Zusammenhang wie die Geometrie einer F 2 im R 3 mit
der metrischen Geometrie im R 2 372 ).
Die Strahlengeometrie von E. Study 373 ) hat die Gruppe der
dual- (bzw, radial-) projektiven Transformationen zur Grund
lage.
Unter den allgemeineren Gruppen von Punkt
transformationen ist zunächst die Gruppe der
rationalen Umformungen zu nennen. Für die Geo
metrie auf der Geraden ist die Gruppe identisch mit den
linearen Transformationen, in der Ebene stellt sie etwas
Neues dar. Man kennt in der Ebene die Gesamtheit der ratio
nalen Umformungen, der Cremonaschen Transfor
mationen 374 ), sie lassen sich durch Zusammensetzung
quadratischer Transformationen erzeugen. Aber die ganze
ebene Geometrie ist noch kaum unter dem einheitlichen Ge
sichtspunkt dieser Gruppe behandelt, wie etwa die Geometrie
der projektiven Gruppe; im Raum ist die Theorie erst im Ent
stehen.
Betsch.
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