Fiktionen in der Mathematik 
In der Analysis situs sucht man das Bleibende gegen 
über solchen Umformungen, die man Deformationen des 
Raumes nennt; sie lassen sich aus oo kleinen reellen 
Raumtransformationen zusammensetzen. 
Bei der allgemeinen Gruppe aller Punkt 
transformationen hat keine Fläche mehr individuelle 
Eigenschaften, da jede in jede andere übergeführt werden 
kann. Aber gewisse Gebilde höherer Art können durch solche 
Transformationen untersucht werden; zu ihnen gehören vor 
allem homogene Differentialausdrücke, partielle Differential 
gleichungen usw. 
Eine Punkttransformation im oo kleinen Ge 
biet des Raumes hat immer den Wert einer linearen 
Transformation; insofern ist die projektive Anschauungsweise 
gegenüber den andern ausgezeichnet. 
Die projektive Gruppe selbst geht aus der Gruppe aller 
Punkttransformationen durch Adjunktion aller Ebenen her 
vor, wie die Elementargeometrie aus der projektivischen 
durch Adjunktion des oo fernen Kugelkreises. 
Der Gruppe aller Punkttransformationen stellen wir noch 
die Gruppe aller Berührungstransformatio 
nen unter Beschränkung auf den Punktraum von drei 
Dimensionen gegenüber. 
Durch Anwendung aller Berührungstransformationen 373 ) kann 
jeder Punkt in jeden Punkt, jede Linie und jede Fläche über 
geführt werden. Soll die Behandlung nicht einseitig sein, so 
muß man als Raumelement das Flächenelement, defi 
niert durch x, y, z, p, q, einführen. Bezeichnet man die Be 
ziehung zweier konsekutiver Elemente x, y, z, p, q und x-f dx, 
y-j-dy,z-(-dz, p-j-dp,q + dq, die durch dz — pdx — qdy 
= 0 dargestellt wird, als vereinigte Lage der beiden 
Elemente, so sind Punkt, Kurve und Fläche übereinstimmend 
zweifach oo Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes 
mit den einfach oo vielen ihm benachbarten vereinigt liegt. 
Diese Eigenschaft ist invariant gegenüber der Gruppe aller 
Berührungstransformationen. Umgekehrt läßt sich diese so 
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