Vergleich verschiedener geometrischer Systeme
211
definieren; Es sind die Substitutionen der x, y, z, p, q, durch
die dz — pdx — q d y = 0 in sich übergeführt wird.
Gegenstand der Untersuchung sind besonders Mannigfaltig
keiten, die durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen den
Variablen x, y, z, p, q dargestellt sind, also partielle Differen
tialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme.
Durch Einführung des Begriffes Konnexelement
(Clebsch) lassen sich die Gruppen aller Berührungstrans
formationen, aller Punkttransformationen und aller projek
tiven Umformungen in einheitlicher Weise charakterisieren.
Versteht man unter Konnexelement die Vereinigung eines
Flächenelements mit einem in ihm gelegenen Linienelement,
und nennt konsekutive Konnexelemente vereinigt gelegen,
wenn Punkt und Linienelement des einen im Flächenelement
des andern enthalten sind, so gilt:
Bei den Berührungstransformationen bleibt die vereinigte
Lage konsekutiver Flächenelemente, bei den Punkttransfor
mationen die von Linienelementen, bei linearen und dualisti
schen Transformationen die von Konnexelementen erhalten.
Suchen wir nun aus den vorstehenden Darlegungen die auf
das Fiktionsproblem bezüglichen Schlüsse zu ziehen, so sehen
wir uns genötigt, die Fragestellung der reinen Mathematik
von der der angewandten Mathematik zu trennen.
Vom Standpunkt der reinen Mathematik aus wird man ge
neigt sein, diese geometrischen Systeme als gleichberechtigt
zu betrachten, denn sie sind alle in derselben Weise als wider
spruchsfrei zu bezeichnen. Gerade dabei machen wir aber
einige Grundvoraussetzungen; wir nehmen die Zahlen und
gewisse Sätze der Analysis als unbedingt widerspruchsfrei an.
Daraus ergibt sich die Tragweite der Entscheidung der
Frage, ob die Grundvoraussetzungen der Zahlenlehre empi
rischer oder apriorischer Natur seien; wir werden uns daher
in den folgenden Kapiteln noch eingehender mit dem Aufbau
der Zahlenlehre und der Analysis zu beschäftigen haben. Wer
die unbedingte Gültigkeit der Axiome der Arithmetik nicht an
erkennt, sondern diese sowie die fundamentalen Sätze der