Fiktionen in der Mathematik
Logik als empirische Sätze betrachtet, wird alle diese geo
metrischen Systeme in gewissem Sinn als Fiktionen be
trachten müssen; denn von direkten Beziehungen zu der sinn
lichen Erfahrung, die als Prüfstein dienen könnte, sind wir
hier sehr weit entfernt (Fiktionstypus Ci).
Man kann aber auch von ganz anderer philosophischer Ein
stellung aus dazu kommen, die meisten der hier entwickelten
geometrischen Systeme für Fiktionen zu halten, Fragen wir
nämlich, ob es sich bei diesen mathematischen Systemen über
haupt noch um Geometrie handelt, so werden wir verschiedene
Antworten erhalten. Wenn man, wie Natorp und Nelson, gerade
die Axiome der Euklidischen Geometrie als synthetisch aprio
risch auffaßt, wird man zwar zugeben, daß die hier entwickel
ten Geometrien logisch widerspruchsfrei seien, wird aber ihre
Existenz bestreiten. Nach dieser Auffassung sind es eben die
alogischen Elemente, die aus der reinen An
schauung des Raumes stammen, die den Axiomen der
Euklidischen Geometrie, und damit dieser selbst, ihre Existenz
sichern. Die andern Geometrien, insbesondere die auf mehr
als drei Dimensionen bezüglichen, sind so als unwirklich, als
fiktiv zu betrachten (Fiktionstypen As und Ai).
Eine ganz andere Richtung erkennt zwar an, daß die Grund
voraussetzungen der Arithmetik und Analysis apriorischer
Natur seien, will aber die Geometrie gar nicht mehr als Gebiet
der reinen Mathematik anerkennen. Wenn man annimmt, daß
neben den rein anschaulichen, aber apriorischen Elementen
der Zahlenlehre noch weitere Elemente der Anschauung des
Raumes entnommen werden müssen, um die Axiome aufstellen
zu können, betrachtet aber alles, was der räumlichen An
schauung entspringt, als empirisch, so wird man den hier
angeführten Systemen den Namen Mannigfaltigkeitslehre
geben können, aber nicht von eigentlicher Geometrie reden.
Die eigentliche Geometrie erscheint dann als ein Stück an
gewandter Mathematik. Die Geometrie der Räume von vier
und mehr Dimensionen usw. hat dann nur arithmetische
Bedeutung. So sagt O. Holder 370 ):
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