Fiktionen in der Mathematik
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in ähnlicher Weise begründen wie die der Geometrie, nämlich
durch Zurückführung auf einen „Kern“. Während aber der
geometrische Kern „arithmetisiert“ werden konnte, ist bei der
Begründung der Arithmetik die Berufung auf eine andere
Grunddisziplin nicht möglich.
„Wir sind in der Arithmetik darauf ange
wiesen, ihren Kern aus sich heraus zu be
urteilen“, sagt Pasch und nimmt diese Tatsache zur Richt
schnur für das Aufdecken der Kernsätze der Arithmetik. Der
Begriff der Menge soll nicht an den Anfang gestellt werden,
da er keinen Aufschluß geben würde über die Quelle, aus der
die Arithmetik fließt und zudem nicht für die Begründung der
ganzen Arithmetik ausreiche. Nur dadurch, daß man die Arith
metik bis zu ihrer Quelle zurückverfolge, könne man hoffen,
Kernsätze zu gewinnen, „die mit der Eigenschaft der Unent
behrlichkeit die der äußersten Einfachheit verbinden“.
M, Pasch geht von der Untersuchung der kombinatorischen
Begriffe der Arithmetik aus. Durch Zergliederung der Begriffe
und Aussagen, die sich auf „Reihenfolge“ beziehen, will
er geeignete Kernbegriffe und Kernsätze gewinnen, die einen
Kern für die gesamte Arithmetik darstellen. Es soll also gleich
zeitig die doppelte Arbeit geleistet werden: Auf Weisung des
Ursprungs des Zahlbegriffs und Nachweis der inneren Folge
richtigkeit der Zahlenlehre. M. Pasch glaubt, daß die von ihm
aufgestellten Kernsätze nicht nur unentbehrlich für den Auf
bau der Arithmetik und überhaupt der Mathematik seien, son
dern weit über deren Grenzen hinaus; er meint:
„Diese Vorstellungen zeigen sich allerwärts in unseren
Schlußketten, oder sie schieben sich zwischen die Glieder
unserer Schlußketten, jedoch wegen ihrer äußersten Einfach
heit, ohne in das Bewußtsein zu dringen und beachtet zu wer
den. Was in jenen Kernsätzen niedergelegt ist, können wir also
nicht ausschalten; den Inhalt der Kernsätze haben wir in uns
aufgenommen, als wir Erfahrung bildeten und sprachlich
festlegten. Bekennen wir uns aber zu diesem Inhalt, so sind
alle Folgerungen, die daraus durch noch so verwickelte
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