Fiktionen in der Mathematik
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Heymans stellt sich auf den Standpunkt: Aus der Reihe der
natürlichen Zahlen und deren Gesetzmäßigkeiten lassen sich
alle Formeln der elementaren Arithmetik analytisch ableiten,
die Zahlenreihe ist aber eine willkürliche Festsetzung, eine
bloße Definition und als solche analytisch; somit liegt in der
Arithmetik kein weiteres erkenntnistheoretisches Problem vor.
Er dürfte sich die Sache doch zu leicht gemacht haben. Ein
mal wird er nicht überall Zustimmung finden, wenn er die
Zahlenreihe als willkürliche Festsetzung zum Ausgangspunkt
macht, denn eine ganze Reihe von Arbeiten der letzten Jahr
zehnte beschäftigte sich damit, über die Zahlenreihe hinaus
zu den eigentlichen Wurzeln der Arithmetik vorzudringen.
Sodann hat Heymans gewisse Fragen beim Aufbau der
Arithmetik ganz unbeachtet gelassen, so die Unendlichkeit der
Zahlenreihe, die Beweise durch sog. vollständige Induktion
und anderes. Auch seine Einführung der negativen, der ge
brochenen, der irrationalen und der imaginären Zahlen scheint
nicht befriedigend; denn wenn schon die natürliche Zahlen
reihe eine willkürliche Festsetzung ist, also ein Begriff, dessen
Merkmale konventionell festgelegt sind, warum soll man dann
nicht den Zahlbegriff so definieren können, daß er jene andern
Zahlen auch mitumfaßt. Der Beantwortung dieser Frage
weicht Heymans aus. Wenn er dann aber sagt 380 ): „Das Multi
plizieren ist eben eine Operation, welche ihrer Natur nach
nur mit Zahlen, und mit nichts anderem, ausgeführt werden
kann; mit etwas, welches keine zählbare Zahl ist, multi
plizieren, hat einfach keinen Sinn“, so lehnt er damit eigent
lich die Erweiterungen des Zahlbegriffs ab. Man kann das nur
so verstehen, daß er eben die Zahlenreihe doch nicht bloß als
eine willkürliche Festsetzung betrachtet, sondern ihr irgend
einen tieferen Sinn beilegt.
Zur Klärung der aufgeworfenen Frage erscheint es zweck
mäßig, die synthetische oder analytische Natur abgeleiteter
Sätze zu unterscheiden von derjenigen von Grundsätzen (Kern
sätzen oder Axiomen).
Behauptet man von abgeleiteten Sätzen, sie seien analytisch,