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natürlichen Zahlen 
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so wird man vom mathematischen Standpunkt aus darunter 
verstehen, daß sie sich auf ein bestimmtes Axiomensystem 
gründen lassen und außer den darin festgelegten Voraus 
setzungen keine anderen Annahmen zu ihrer Ableitung er 
fordern. Jeder Satz aber, zu dessen Begründung das vor 
gelegte Axiomensystem nicht ausreicht, muß als synthetisch 
bezeichnet werden. An ein solches Axiomensystem werden 
dabei folgende Forderungen gestellt: 
a) Es muß vollständig sein, d. h. es darf nicht Vorkommen, 
daß an irgendeiner Stelle des darauf gegründeten Lehr 
gebäudes andere Beweisgründe herangezogen werden müssen 
als die in den Axiomen enthaltenen, 
b) Es muß in sich widerspruchslos sein, d. h. wie weit wir 
auch in der Ableitung von neuen Sätzen fortschreiten mögen, 
darf nie ein Satz herauskommen, der im Widerspruch mit 
irgendeinem der gegebenen oder abgeleiteten Sätze steht. 
c) Das System soll irreduzibel sein, d. h. es soll nicht mög 
lich sein, eines der Axiome auf eines oder mehrere der übrigen 
zurückzuführen. Diese Forderung ist eigentlich nur eine solche 
logischer Reinheit; kann aber insofern von Bedeutung werden, 
als in einem solchen überbestimmten System ein fälschlicher 
weise für ein Axiom, also für ein notwendiges konstitutives 
Merkmal gehaltener Satz, weggelassen werden könnte, ohne 
daß sich am ganzen System etwas ändern würde. Die Frage, 
ob Heymans den vorstehenden Forderungen entsprechend die 
Grundlagen der Arithmetik untersucht habe, wird man ver 
neinen müssen. 
Hinsichtlich der Axiome selbst bedeutet die Bezeichnung 
„analytisch“, daß sie ohne Hinzuziehung alogischer Elemente, 
etwa empirischer oder reiner Anschauung, nur aus den Be 
griffen und Gesetzen der reinen Logik begründbar seien. 
Wenn man daher voraussetzt, daß auch die Logik axiomatisch 
aufgebaut werden kann, so stimmt diese Festsetzung wieder 
mit der für abgeleitete Sätze überein, nur daß das Axiomen 
system das der Logik ist.