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Fiktionen in der Mathematik
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Es wurde schon vielfach behauptet, daß die Grundlagen der
Zahlenlehre, und damit der reinen Mathematik, in diesem Sinne
analytisch seien, so besonders in neuerer Zeit von Vertretern
des Logik-Kalküls, namentlich von Couturat; allerdings soll
dann die Logik in weiterem Sinne verstanden werden als in
dem der aristotelischen Syllogistik.
Aber die Zahl derer, die bestreiten, daß die Mathematik aus
der Logik allein begründet werden könne, ist nicht gering.
Nicht nur in philosophischen Kreisen, sondern auch bei her
vorragenden Mathematikern, findet man die Auffassung, daß
die mathematischen Axiome einen alogischen Kern enthalten,
und zwar nicht nur die geometrischen, sondern auch die arith
metischen.
Wir beschäftigen uns nun zunächst mit der Auffassung, nach
der die ganze Zahlenlehre rein logisch begründet werden kann.
Hier ist an erster Stelle G, F r e g e zu nennen, der die Ge
setze der Arithmetik durch die Mittel der formalen Logik
allein zu begründen sucht. Er hat nach Ansicht von D. Hil
bert die wesentlichen Eigenschaften des Begriffs der ganzen
Zahl sowie die Bedeutung des Schlusses der vollständigen In
duktion richtig erkannt, setzt sich aber gewissen mengen-
theoretischen Paradoxien aus, die zeigen, daß die Auffassun
gen und Untersuchungsmittel der Logik, im hergebrachten
Sinne aufgefaßt, nicht den strengen Anforderungen, die die
Mengenlehre stellt, gewachsen sind. „Die Vermeidung solcher
Widersprüche und die Klärung jener Paradoxien ist (viel
mehr) bei den Untersuchungen über den Zahlbegriff von vorn
herein als Hauptziel ins Auge zu fassen“, sagt Hilbert. Auch
R. Dedekind hat in seiner scharfsinnigen Theorie der gan
zen Zahlen nach der Ansicht von D. Hilbert den Nachweis der
Existenz des Unendlichen nicht in einwandfreier Weise ge
führt, da der Begriff der Gesamtheit aller Dinge unvermeid
lich jene mengentheoretischen Widersprüche nach sich zieht.
B. Russell betont in seinen Schriften ausdrücklich seine
Übereinstimmung mit G. Frege, sucht aber die Logik so zu
erweitern, daß sie den Anforderungen der Mathematik genügt.