Die 
natürlichen Zahlen 
Betsch. 
15 
225 
Nach seiner Meinung steht die Reihe der natürlichen Zahlen 
nicht am Anfang der ganzen mathematischen Wissenschaft, 
sondern in der Mitte zwischen zwei nach entgegengesetzten 
Richtungen laufenden Forschungsgebieten. Von diesen schreitet 
das eine von den ganzen Zahlen zu den Brüchen, zu reellen 
und komplexen Zahlen, von den arithmetischen Operationen 
zur Differentiation und Integration konstruktiv weiter zu 
immer größerer Komplikation der Begriffsbildung. Das andere 
kommt analytisch vorgehend zu immer größerer Abstraktion 
und logischer Einfachheit; man faßt diese Forschungen unter 
dem Namen „mathematische Philosophie“ zusammen. 
Nach der Zurückführung der gesamten reinen Mathematik 
auf die Theorie der natürlichen Zahlen war die nächste Auf 
gabe der logischen Analyse, diese Theorie auf die geringste 
Zahl von Voraussetzungen zurückzuführen; diese Arbeit hat 
nach Russells Ansicht P e a n o geleistet. Er führte die ganze 
Theorie der natürlichen Zahlen auf drei Grundbegriffe und 
fünf Grundsätze zurück, außer denen nur noch die Sätze der 
reinen Logik Verwendung finden sollen. Die Grundbegriffe 
Peanos sind: Null, Zahl, Nachfolger; seine Grundsätze lauten: 
1. 0 ist eine Zahl, 
2. Der Nachfolger irgendeiner Zahl ist eine Zahl. 
3. Es gibt nicht zwei Zahlen mit demselben Nachfolger. 
4. 0 ist nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl. 
5. Jede Eigenschaft der 0, die auch der Nachfolger jeder 
Zahl mit dieser Eigenschaft besitzt, kommt allen Zahlen 
zu 388 ). 
Peano und Padoa haben nachgewiesen, daß diese fünf 
Axiome unabhängig sind und bei dem gegebenen System von 
Grundbegriffen sämtlich notwendig, aber auch hinreichend 
zur Begründung der Arithmetik. Aber schon Padoa ging 
daran, das System Peanos zu vereinfachen; er ersetzte es 
durch ein System, in dem nur noch „Zahl“ und „Nachfolger“ 
als Grundbegriffe auftreten. 
B. Russell betrachtet Peanos Behandlung auch nicht für 
endgültig. Einmal habe sie den Mangel, daß die drei Grund