Die
natürlichen Zahlen
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auch logisch einfacher, von zwei Mengen festzustellen, ob sie
die gleiche Zahl von Elementen haben, als zu definieren,
welches diese Zahl ist; er benützt zu dieser Feststellung den
Begriff der ein-eindeutigen Beziehung, und nennt dann Men
gen ähnlich, wenn es eine ein-eindeutige Beziehung gibt, die
jedes Element der einen Menge einem Element der andern
Menge zuordnet. Der Akt des Zählens besteht in der Auf
stellung einer ein-eindeutigen Beziehung zwischen der Reihe
der gezählten Gegenstände und den natürlichen Zahlen, die
bei dem Prozeß aufgebraucht werden.
Man schließt demnach, daß in der zu zählenden Menge so
viele Gegenstände vorhanden sind, wie es Zahlen gibt bis zur
letzten Zahl, die beim Zählen gebraucht wird; diese gibt also
die Anzahl der Elemente der Menge an. Dabei wird aber vor
ausgesetzt, daß ähnliche Mengen die gleiche Zahl von Gliedern
haben; außerdem ist der Schluß nur bei endlichen Mengen er
laubt. Der Ähnlichkeitsbegriff wird also beim Zählen voraus
gesetzt und er ist einfacher. Denn beim Zählen muß man die
Elemente in einer gewissen Reihenfolge nehmen, aber das
Wesen der Zahl besteht nach Russell nicht in der Ordnung.
Diese ist ein Zusatz, eine unnötige Komplikation; der Begriff
der Ähnlichkeit setzt den Ordnungsbegriff nicht voraus; auch
verlangt er nicht, daß man sich auf endliche Mengen be
schränkt. Da nun Russell eine Definition der Zahl will, die
nicht nur auf endliche Zahlen anwendbar ist, geht er vom Be
griff der Ähnlichkeit aus.
Er denkt sich immer die Mengen in ein Bündel zusammen
gefaßt, die einander ähnlich sind, und definiert: Mengen haben
die gleiche Gliederzahl, wenn sie ähnlich sind. Dann ergibt
sich ihm als Definition der Zahl der Satz: Die Zahl
einerMenge ist die Menge aller ihr ähnlichen
Mengen 389 ). Der Satz klingt zwar im ersten Augenblick
paradox, aber man kann ihm einen tieferen Sinn nicht ab
streiten. Russell meint, man denke natürlich, daß die Menge
der Paare etwas von der Zahl 2 Verschiedenes sei; aber über
die Menge der Paare bestehe selbst keine Unsicherheit, wäh-