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Fiktionen in der Mathematik
heit als Zählendes im Stellverhältnis. Natorp faßt die Multi
plikation als verkappte Proportion auf, 2 X 3 — 6 X 1, und
zeigt dann, daß aus seiner Auffassung der Grundreihe und der
Operationen sich das kommutative Gesetz einfach, ohne Zeit
oder Raumanschauung, ergibt. Besonders soll sich aber der
Vorteil der Natorpschen Erklärung bei der Division zeigen.
Die gewöhnliche Begründung der Division durch die Teilung
als Umkehrung der Vervielfältigung erscheint Natorp unge
nügend, denn sie führe zu einem reinen Ergebnis bloß, wenn
der Dividend ein ganzes Vielfaches des Divisors sei; aber auch,
wenn man sich gestatte, Reste stehen zu lassen, bleibe wenig
stens gefordert, daß der Dividend größer als der Divisor
sei, denn eine Teilung des Weniger durch Mehr habe keinen
Sinn.
Nach seiner Auffassung der Multiplikation, wonach jede
Vielheit einer gegebenen Einheit auch wieder als Einheit zu
einer neuen Vielheit verstanden werden kann, der Begriff der
zählbaren Einheit gleichgültig dagegen ist, ob die Einheit
als ursprüngliche oder aus andern Einheiten abgeleitete an
gesehen wird, kann die Einheit sofort als aus irgendwelchen
beliebig vielen Einheiten durch Multiplikation gebildet, also
als beliebig teilbar angesehen werden. Die Division ist also
mit jenem Verhältnis von Vielheit und Einheit gegeben, das
nur in anderer Wendung die Multiplikation zum Ausdruck
brachte. Man wird nicht sagen können, daß Natorp hier den
Stein der Weisen fand, denn in der Definition der Division als
zur Multiplikation inverser Operation liegt dieser Gedanke
auch schon, wie auch seine „Grundreihe“ der Reihe der gan
zen Zahlen auf ein Haar ähnlich sieht.
O. Holder unterscheidet klar die zwei Arten, die ganzen
Zahlen aufzufassen: als Anzahlen, oder nur als Zeichen
einer Reihe, die nicht abbricht und in der niemals eines
der Zeichen wiederkehrt. Er hält die letztere Auffassung, bei
der die Zahlen nur als Stellenzeichen betrachtet werden,
denen, abgesehen von der Ordnung, keine Bedeutung zu
kommen soll, als die engere 403 ).
