240 
Fiktionen in der Mathematik 
heit als Zählendes im Stellverhältnis. Natorp faßt die Multi 
plikation als verkappte Proportion auf, 2 X 3 — 6 X 1, und 
zeigt dann, daß aus seiner Auffassung der Grundreihe und der 
Operationen sich das kommutative Gesetz einfach, ohne Zeit 
oder Raumanschauung, ergibt. Besonders soll sich aber der 
Vorteil der Natorpschen Erklärung bei der Division zeigen. 
Die gewöhnliche Begründung der Division durch die Teilung 
als Umkehrung der Vervielfältigung erscheint Natorp unge 
nügend, denn sie führe zu einem reinen Ergebnis bloß, wenn 
der Dividend ein ganzes Vielfaches des Divisors sei; aber auch, 
wenn man sich gestatte, Reste stehen zu lassen, bleibe wenig 
stens gefordert, daß der Dividend größer als der Divisor 
sei, denn eine Teilung des Weniger durch Mehr habe keinen 
Sinn. 
Nach seiner Auffassung der Multiplikation, wonach jede 
Vielheit einer gegebenen Einheit auch wieder als Einheit zu 
einer neuen Vielheit verstanden werden kann, der Begriff der 
zählbaren Einheit gleichgültig dagegen ist, ob die Einheit 
als ursprüngliche oder aus andern Einheiten abgeleitete an 
gesehen wird, kann die Einheit sofort als aus irgendwelchen 
beliebig vielen Einheiten durch Multiplikation gebildet, also 
als beliebig teilbar angesehen werden. Die Division ist also 
mit jenem Verhältnis von Vielheit und Einheit gegeben, das 
nur in anderer Wendung die Multiplikation zum Ausdruck 
brachte. Man wird nicht sagen können, daß Natorp hier den 
Stein der Weisen fand, denn in der Definition der Division als 
zur Multiplikation inverser Operation liegt dieser Gedanke 
auch schon, wie auch seine „Grundreihe“ der Reihe der gan 
zen Zahlen auf ein Haar ähnlich sieht. 
O. Holder unterscheidet klar die zwei Arten, die ganzen 
Zahlen aufzufassen: als Anzahlen, oder nur als Zeichen 
einer Reihe, die nicht abbricht und in der niemals eines 
der Zeichen wiederkehrt. Er hält die letztere Auffassung, bei 
der die Zahlen nur als Stellenzeichen betrachtet werden, 
denen, abgesehen von der Ordnung, keine Bedeutung zu 
kommen soll, als die engere 403 ).